5.6 Потенциал электростатического поля

Для описания электростатического поля можно воспользоваться и энергетическим подходом. На заряд в электрическом поле действует сила. Под действием этой силы заряд может перемещаться. Следовательно, электрическое поле может совершать работу.

Рисунок 5.11

Пусть электростатическое поле создается положительным точечным зарядом . Поместим этот заряд в начало координат (см. рис. 5.11). В поле заряда перемещается под действием сил поля заряд из точки 1 в точку 2, положение которых характеризуется радиус-векторами и соответственно. Точечный заряд создает неоднородное поле, поэтому работа, совершенная силами поля на элементарно малом участке равна (раздел 2.5), перемещение заряда совпадает с направлением действия сил поля. На участке 1-2 работа равна

. (5.12)

Также известно, что при совершении работы происходит изменение потенциальной энергии (см. уравнение (2.24)), поэтому .

Напряженность электростатического поля мы определили как силу, действующую на единичный, положительный заряд, аналогично удобно ввести понятие разности потенциалов, как изменение потенциальной энергии при перемещении единичного заряда из одной точки поля в другую:

.

Каждая точка поля тогда будет характеризоваться потенциалом, который определяется следующим образом:

потенциал – это физическая величина численно равная потенциальной энергии, которой обладает единичный заряд, помещенный в данную точку поля, если считать, что в бесконечности потенциальная энергия равна нулю.

. (5.13)

Из выражения (5.12) следует, что потенциал поля точечного заряда в данной точке поля равен

. (5.14)

Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

.

Графически распределение потенциала в электростатическом поле можно изображать с помощью эквипотенциальных поверхностей.

Эквипотенциальная поверхность – это совокупность точек поля, имеющих одинаковый потенциал. Для точечного заряда эквипотенциальные поверхности – сферы, (см. рисунок 5.4).

5.7 Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом

Электростатическое поле можно описать либо с помощью векторной величины (напряженность электростатического поля), либо с помощью скалярной величины (потенциал электростатического поля). Очевидно, что между этими величинами должна существовать определенная связь.

В разделе 5.6 было установлено, что работа сил электростатического поля на элементарно малом отрезке перемещения равна С другой стороны эта же работа равна , если перемещать пробный заряд вдоль силовых линий. Приравниваем эти выражения и получаем:

.

Отсюда следует, что напряженность можно выразить через потенциал следующим образом:

, (5.15)

производная, стоящая в правой части равенства, выражает быстроту изменения потенциала в направлении . Мы видим, что проекция вектора напряженности на данное направление равна быстроте изменения потенциала в этом направлении с обратным знаком. Знак минус в выражении (5.15) указывает на то, что вектор напряженности электростатического поля всегда направлен в сторону убыли потенциала.

Для однородного электростатического поля выражение (5.15) выглядит следующим образом:

, (5.15а)

где – расстояние между двумя эквипотенциальными поверхностями с потенциалами и , соответственно, – называется напряжением.

Поскольку электростатическое поле можно изобразить графически с помощью силовых линий и эквипотенциальных поверхностей, то необходимо выяснить, как они располагаются по отношению друг к другу. Выберем однородный участок поля, и на этом участке будем перемещать пробный заряд q₀ вдоль эквипотенциальной поверхности. Перемещая пробный заряд, совершаем работу против сил электростатического поля

, (5.16)

. (5.17)

Поскольку пробный заряд перемещается по эквипотенциальной поверхности, то во всех точках этой поверхности потенциалы равны, т.е. , значит по формуле (5.16) получается, что совершаемая работа равна нулю . В формуле (5.17) левая часть уравнения также равна нулю, следовательно, в правой части уравнения должен быть равен нулю один из членов. Нулю может быть равен лишь косинус угла , следовательно, угол . Угол – это угол, между перемещением S и направлением действия силы , направление которой совпадает с направлением силовых линий. Перемещение пробного заряда происходит по эквипотенциальной поверхности, поэтому можно утверждать, что силовые линии и эквипотенциальные поверхности взаимно перпендикулярны (угол ).

На рисунке 5.4 показаны эквипотенциальные поверхности (точнее, их пересечения с плоскостью чертежа) для поля точечного заряда, которые представляют собой окружности. Так как напряженность электростатического поля самая большая вблизи заряда, то эквипотенциальные поверхности при приближении к заряду тоже становятся гуще.

Рисунок 5.12

Для однородного электростатического поля эквипотенциальные поверхности представляют собой систему равноотстоящих друг от друга плоскостей, перпендикулярных к направлению силовых линий поля (см. рисунок 5.12). При заданном направлении силовых линий электростатического поля потенциал эквипотенциальных поверхностей является наименьшим.