ТЕМА: Економетричні моделі і системи одночасних структурних рівнянь

1. Поняття системи одночасних структурних рівнянь та різновиди їх форм

В економіці існує багато задач, коли для опису економічного процесу доводиться використовувати систему взаємозв'язків між декількома показниками та факторами і які описуються системою рівнянь регресії.

Наприклад, якщо Y₁ - курс гривні до американського долара, Y₂ - обсяг імпорту, Х_і ( і=1,2,..., m) - фактори, від яких залежать ці показники, наприклад:

X₁ - національний прибуток,

Х₂ - середній рівень заробітної плати,

Х₃ - обсяг імпорту, Х₄ - ціни енергоносіїв, що купуються,

Х₅ - інфляція долара,

Х₆ - відсоткові ставки кредитів у банках,

X₇ - розмір емісії, Х₈ - інфляція гривні за попередні періоди в Україні, Росії, Германії .

В розглянутому прикладі систему регресійних рівнянь можна записати у вигляді

При побудові моделей пояснювальні зміні можуть мати запізнення (лаги) за один, два або більше періодів. Наприклад, інфляція долара в Україні залежить від рівня його інфляції в Германії, Америці, Японії, Росії за попередній період.

Найчастіше системи одночасних структурних рівнянь включають лінійні рівняння. Нелінійність зв'язків зводиться до лінійних відносно змінних або апроксимується лінійними співвідношеннями. Динаміка економічних зв'язків враховується за допомогою часових лагів або лагових зміних.

В загальному вигляді економетрична модель на основі системи одночасних рівнянь має вигляд (1)

В цій моделі окремі коефіцієнти можуть дорівнювати нулю, якщо відповідна зміна не входить до рівняння. Якщо деяке рівняння описує детерміновані співвідношення (вони не містять випадкових величин), то відповіднi відхилення е_іt, також можуть дорівнювати нулю.

Систему (1) можна записати у матричній формі Y_t = АY_t + ВХ_t + U_t , (2)

де Y_t - вектор ендогених (залежних) змінних;

X_t - матриця екзогених (незалежних) зміних,

U - вектор відхилень,

A - матриця коефіцієнтів при змінних Y розміром k х k;

В - матриця коефіцієнтів при змінних X розміром k x m.

Економетрична модель вигляду (1) відображає структуру зв'язків між змінними величинами і називається структурною формою економетричної моделі.

Використовуючи матричний запис (2) і припущення, що ранг системи дорівнює m, розв'яжемо цю систему відносно Y:

(3)

де П = (U - А)^-1 вектор-стовпець, складений з лінійних комбінацій випадкових змінних Е_t.

Рівняння (3) можна записати у вигляді системи

(4)

Це називається зведеною формою системи одночасних рівнянь.

Система одночасних структурних рівнянь називається рекурсивною формою системи, якщо матриця А параметрів ендогенних змінних структурної системи (1) має трикутний вигляд, а випадкові відхилення не корелюють між собою.

2. Необхідність використання систем рівнянь

Багато економічних взаємозв'язків допускають моделювання одним рівнянням. У більшості випадків використання МНК для оцінки параметрів таких моделей є найбільш спроможною процедурою. Однак ряд економічних процесів моделюється не одним, а декількома рівняннями, що містять як повторювані, так і власні змінні. Внаслідок цього виникає необхідність використання систем рівнянь. Крім того, в одних рівняннях певна змінна розглядається як пояснююча (незалежна), але в той же час вона входить в інше рівняння як залежна (пояснювальна) змінна.