Решение

Переменные для описания задачи:

K = 3 – количество пунктов отправления;

I = 2 – количество пунктов взаимодействия;

J = 4 – количество пунктов назначения;

A_k – запас груза в k-ом пункте отправления, т, k = 1…3;

B_j – заявка на груз в j-ом пункте назначения, т, j = 1…4;

D_i – перерабатывающая способность i-го пункта взаимодействия, т, i = 1…2;

С^А_ki – стоимость перевозки одной тонны груза из k-го пункта отправления в i-ый пункт взаимодействия первым видом транспорта, ден.ед./т, k = 1…3, i = 1…2;

С^Б_ij – стоимость перевозки одной тонны груза из i-го пункта взаимодействия в j-ый пункт назначения вторым видом транспорта, ден.ед./т, i = 1…2, j = 1…4;

X_ki – количество груза, перевозимого из k-го пункта отправления в i-ый пункт взаимодействия первым видом транспорта, т, k = 1…3, i = 1…2;

Y_ij – количество груза, перевозимого из i-го пункта взаимодействия в j-ый пункт назначения вторым видом транспорта, т, i = 1…2, j = 1…4.

Переменные A_i, B_j, D_i, С^А_ki, С^Б_ij считаются известными и входят в состав исходных данных; проектные переменные X_ki,Y_ij определяется в ходе решения задачи линейного программирования.

Целевая функция (суммарная стоимость перевозок) записывается следующим образом:

С = С^А_ki X_ki + С^Б_ij Y_ij  min. (6.1)

Суммарный запас груза в пунктах отправления должен быть не меньше суммы заявок пунктов назначения.

Суммарная перерабатывающая способность пунктов взаимодействия должны быть не меньше суммы заявок пунктов назначения.

Необходимыми условиями решения данной задачи являются:

A_k  B_j, D_i  B_j. (6.2)

Ограничения, накладываемые на задачу, формализуются в следующем виде:

1) суммарное количество груза, перевозимого в j-ый пункт назначения, должно быть равно заявке этого пункта:

Y_ij = B_j, j = 1…4; (6.3)

2) суммарное количество груза, отправляемого из i-го пункта взаимодействия, должно быть равно суммарному количеству груза, прибывающего в этот пункт:

Y_ij = X_ki, i = 1…2; (6.4)

3) суммарное количество груза, прибывающего в i-ый пункт взаимодействия, не может превышать перерабатывающей способности этого пункта:

X_ki  D_i, i = 1…2; (6.5)

4) суммарное количество груза, отправляемого из k-го пункта, не может превышать запас груза в этом пункте:

X_ki  A_k, k = 1…3. (6.6)

Сформулированная задача является многопараметрической задачей линейного программирования минимизации критерия (6.1) с учетом выполнения условий (6.2) и ограничений (6.3), (6.4), (6.5), (6.6).

Проверим выполнение необходимых условий (6.2) решения задачи: суммарный запас груза должен быть не меньше суммы заявок; суммарная перерабатывающая способность пунктов взаимодействия должны быть не меньше суммы заявок пунктов назначения.

Суммарный запас груза:

A₁ + A₂ + A₃ = 50 + 70 + 110 = 230 т.

Сумма заявок:

B₁ + B₂ + B₃ + B₄ = 15 + 27 + 95 + 75 = 212 т.

Суммарная перерабатывающая способность пунктов взаимодействия:

C₁ + C₂ = 125 + 90 = 215 т.

Условия (6.2) выполняются: суммарный запас груза превышает сумму заявок на 230 - 212 =

= 28 т; суммарная перерабатывающая способность пунктов взаимодействия превышает сумму заявок пунктов назначения на 215 - 212 = 3 т.

Целевая функция (6.1) записывается следующим образом:

С = 7X₁₁ + 8X₁₂ + 10X₁₃ + 46X₂₁ + 47X₂₂ + 50X₂₃ +

+ 154Y₁₁ + 296Y₁₂ + 407Y₁₃ + 720Y₁₄ + 597Y₂₁ + 704Y₂₂ + 451Y₂₃ + 419Y₂₄  min.

Ограничения (6.3) на суммарное количество груза, доставляемого в каждый пункт назначения записывается следующим образом:

Y₁₁ + Y₂₁ = 15;

Y₁₂ + Y₂₂ = 27;

Y₁₃ + Y₂₃ = 75;

Y₁₄ + Y₂₄ = 75.

Ограничение (6.4) на суммарное количество груза, убывающего из пункта взаимодействия, записывается следующим образом:

Y₁₁ + Y₁₂ + Y₁₃ + Y₁₄ = X₁₁ + X₂₁ + X₃₁;

Y₂₁ + Y₂₂ + Y₂₃ + Y₂₄ = X₁₂ + X₂₂ + X₃₂.

Ограничение (6.5) на суммарное количество груза, прибывающего в пункт взаимодействия, записывается следующим образом:

X₁₁ + X₂₁ + X₃₁  125;

X₁₂ + X₂₂ + X₃₂  90.

Ограничения (6.6) на суммарное количество груза, убывающего из пункта отправления, записывается следующим образом:

X₁₁ + X₁₂  50;

X₂₁ + X₂₂  70;

X₃₁ + X₃₂  110.

Решение задачи линейного программирования осуществляется с использованием средства «Поиск решения» пакета MS Excel методом «ветвей и границ».

Значения переменных X_ki (т), полученные в результате решения задачи, приведены в таблице.

k \ i	1	2	Всего
1	33	17	50
2	0	70	70
3	92	0	92
Всего	125	87

Значения переменных Y_ij (т), полученные в результате решения задачи, приведены в таблице.

j \ i	1	2	Всего
1	15	0	15
2	27	0	27
3	83	12	95
4	0	75	75
Всего	125	87

Значение целевой функции составило 86 143 ден.ед.

В первый пункт взаимодействия груз доставляется из первого (33 т) и третьего (92 т) пунктов отправления, во второй пункт – из первого (17 т) и второго (70 т) пунктов отправления. В первом пункте отправления осталось 18 т.

В первый пункт назначения груз доставляется из первого пункта взаимодействия (15 т), во второй – из первого пункта взаимодействия (27 т), в третий – из первого (83 т) и второго (12 т) пункта взаимодействия, в четвертый – из второго (75т). Во втором пункте взаимодействия остались не использованными 3 т перерабатывающей способности.