Екзаменаційний білет № 22

1. Криволiнiйнi iнтеграли. Умови незалежностi криволiнiйного iнтегралу вiд шляху iнтегрування..

- проста гладка крива(траекторія), якщо існує непер.-диф. де - параметричне зображення і - похідна не рівна 0.

Нехай - інше параметричне зображення. Тоді і . Отже існує композиція , причому

Озн Якщо то параметричне зображення та - еквівалентні. При цьому множину усіх еквівал. зображень простої гладкої кривої позначимо

Озн Упорядкована пара - орієнтована проста гладка крива Г.

утворюють - протилежно орієнтована Г.

Озн Криволінійний інтеграл I роду де dl - диференціал довжини дуги .

Розуміємо:

Озн Множина - проста гладка крива, якщо існує неперервне і де - параметричне зображення .

Озн Якщо - інше параметричне зображення, то і якщо то параметричне зображення та - еквівалентні. При цьому множину усіх еквівал. зображень простої гладкої кривої позначимо

Озн Упорядкована пара - орієнтована проста гладка крива Г. - протилежно орієнтована Г.

Озн Криволінійний інтеграл I роду

Розуміємо:

Нехай - орієнтована гладка проста крива. .

Озн Криволінійний інтеграл II роду

Теорема Нехай - непер. разом із у замкненій однозв’язній області G. Тоді наступні умови еквівалентні:

1. для довільного замкнутого контура .

1. не залежить від вибору шляху інтегрування ( тобто визнач. початкові і кінцеві точки інтегрування).

2. W=Pdx+Qdy є повним диференціалом деякої ф-ції.

3. ,

1 2. Розглянемо 2 шляхи ( ) і покажемо ,що . Утворимо контур

0= .

2 . Зафіксуємо і визначимо . З умови 2 функція u визначена однозначно , покажемо, що задовольняє умову3. Розглянемо

за теор про середнє , , . , аналогічно .

3 . З теореми про рівність мішаних похідних ,

. З того,що вони існують і неперервні вони рівні між собою, отже .

4 . Розглянемо довільний замкнений контур

(з властивості 4). 

Теорема: (незал крив інт від шляху інтегрування в )

Нехай V – замкнена, поверхневооднозв’язна область в , на V визначена функція f , , що є неперервною на V разом з похідними , тоді наступні умови еквівалентні:

1. Інтеграл по замкненому контуру =0.

2. Інтеграл не залежить від шляху інтегрування.

3. - неперервна диф-на ф-я : .

4. .

22.2 Прийняття рішень в умовах ризику та невизначеності. Критерій Севіджа.

У загальному випадку в задачах ПР в умовах невизначенрсті визначена трійця множин:

X - множина альтернатив,

Y - множина наслідків,

S - множина станів зовнішнього середовища.

Множина S станів природи є проявом невизначеності в прийнятті рішень.

Відомі 2 форми взаємозв’язку цієї трійки множин:

1. екстенсивна форма (сформ. Нейман, Моргенштейн)

Суть полягає в тому, що стан визначається як:

При такій постановці задачі стани природи у явному вигляді не фігурують. Невизначеність таких задач описується розподілом ймовірностей на множині наслідків Y, які відповідають альтернативам з X.

Переваги ОПР виражаються у вигляді функцій корисності, які визначені на множині наслідків.

Очікувана корисність альтиви X може бути оцінена деяким функціоналом

кожній альтернативі відповідає свій розподіл ймовірностей на множині наслідків, то в такій постановці ЗПР можна говорити про вибір найкращої ймовірності.

2. Нормальна форма(сформ. Севідж)

Альтернативи визначаться як відображення:

Невизначеність описується за допомогою одного незалежного від альтернатив розподілу ймовірностей на множині S, який задається щільністю p(s).

Переваги ОПР задаються за допомогою ф-й корисності. Очікувана корисність альт. Xможе бути оцінена функціоналом:

Критерій Севіджа.

Корисність кожної альтернативи оцінюється таким виразом:

Представляє собою найкраще значення кор. наслідку при фіксованому стані природи.

Різниця представляює собою втрати, які можуть бути отримані при виборі конкретної альтернативи.

Недоліки і переваги цього критерію подібні до мінмаксного критерія.