Екзаменаційний білет № 21

1. Поверхневi iнтеграли. Формули Грiна, Стокса, Остроградського.

Нехай Ф – гладка обмежена двостороння поверхня (якщо нормаль поверхні не змінює напрямку, то поверхня наз-ся двосторонньою). Нехай на цій поверхні задана ф-ція f(M), і крім того в кожній точці М задана функція і нормаль. Поверхню Ф розіб’ємо на n частин і в кожній частині виберемо точку М_і і складемо суму: , де – елемент площіі поверхні (величина площі і-тої ячейки розбиття Ф). Перейдемо до границі при n, тоді, якщо , то називається поверхневим інтегралом 1-го роду. Поняття поверхневого інтегралу 1-го роду поширюється і на замкнуті поверхні.

Нехай Ф – гладка двостороння поверхня. Зафіксуємо одну із сторін цієї поверхні і розглянемо вектор-функцію , задану на Ф. Позначимо через проекцію вектора F на напрямок нормалі в точці . Інтеграл називається поверхневим інтегралом 2-го роду від вектор-функції F за вибраною стороною поверхні і записують його так: . Отже, за визначенням = . При переході до іншої сторони поверхні цей інтеграл змінює свій знак на протилежний.

Формула Гріна.

Якщо функції P(x,y), Q(x,y) – неперервні в замкнутій області D і мають неперервні частинні похідні в цій області і існують невласні інтеграли від кожної з функцій, то має місце формула Гріна: .

Частинні випадки формули Гріна: Q(x,y)=х, P(x,y)=-y. Тоді .

Формула Стокса.

Теорема. Нехай в деякому околі двосторонньої поверхні S функції ) – неперервні разом з своїми частинними похідними першого порядку, замкнений контур, який є межею поверхні S. Тоді має місце формула Стокса: .Орієнтація поверхні повина відповідати орієнтації кривої: .

x=x, y=y, z=z(x,y), - область, куди проектується. - межа області

вектор нормалі зад поверхні z=z(x,y): =

= . - аналогічно першому, потім знаходимо середнє арифметичне і отримаємо нашу формулу. 

Ця формула узагальнює формулу Гріна на просторовий випадок.

Формула Остроградського.

Теорема. Функції ) – неперервні в замкнутій області V разом зі своїми похідними , тоді : , S–поверхня, яка обмежує об’єм V, n- вектор нормалі до зовнішньої сторони, - вектор ф-я.

.

 - доведемо. Розіб’ємо елем тіло на скінч кількість елем тіл для інтегр по x, y. Всі межі мають Лебегову міру 0, отже на інтеграл не впливають, всі інт по внутр поверхні =0. Достатньо довести формулу для тіла елем для інтегрув по x,y.

, ,

=| =0,s1-верхня основа,s2-нижня основа,s3-бічна поверхня.|= .

2. Постановка задачі багатокритеріальної оптимізації. Метод послідовних поступок.

Постановка задачі багатокритеріальної оптимізації. Будемо розглядати скінченно вимірні задачі багатокритеріальної максимізації:

де Х – множина альтернатив, яка є множиною з простору ; – вектор критеріїв, який задається відображенням – множина індексів критеріїв, m – кількість критеріїв. У таких задачах множина альтернатив Х, як правило, виділяється з якоїсь ширшої множини за допомогою обмежень, що найчастіше представляються у вигляді нерівностей:

де – числові функції, які визначені на D. При цьому вважається, що і вектор критеріїв також визначений на D.

У ролі множини D, як правило, виступає або весь простір , або деяка його специфічна підмножина, наприклад, невід'ємний ортант , утворений усіма векторами з невід'ємними компонентами:

Практично, множина D виділяється з за допомогою найпростіших і очевидних обмежень на змінні.

Особливістю методу є те, що критерії багатокритеріальної задачі повинні бути попередньо впорядковані за зменшенням їхньої важливості, після чого вибір розв'язку задачі здійснюється шляхом виконання багатокрокової діалогової процедури. Діалогова процедура послідовних поступок складається з одного попереднього і m основних кроків (нагадаємо, що m – це кількість критеріїв).

0 – крок. Критерії впорядковуються за зменшенням їхньої важливості (будемо вважати, що ) за думкою ОПР.

і – й крок ( ). Розв'язується однокритеріальна задача:

Позначимо через її оптимальний розв'язок. Далі обчислюється оцінка . ОПР аналізує отриману оцінку й у випадку, коли вона його не задовольняє, визначає величину поступки за i-м критерієм, на яку він може погодитися з метою покращення показників за іншими, менш важливими критеріями. Якщо крок не є останнім ( i <m ), то визначається "уточнена" множина альтернатив

і здійснюється перехід на наступний крок. У протилежному випадку – альтернатива вибирається як розв'язок багатокритеріальної задачі і процедура закінчується.

На m-му кроці ОПР повинна чи погодитися з отриманою альтернативою, чи повторно виконати процедуру. У цьому випадку ОПР збагачується знанням про взаємозв'язок поступок за критеріями та значеннями менш важливих критеріїв.

Варто зауважити, що метод не обмежує можливості ОПР у виборі ефективних альтернатив.