2. Поняття випадкового процесу. Вiнерiвський та Пуасонiвський процеси.

Озн.Випадковий процес - це система в.в. , , - проміжок часу, яка описує еволюцію процесу, що досліджується, - значення характеристики, що досліджується, в момент

У ТЙ:

ВП - множина в.в. , визначена на одному і тому ж імовірністному просторі . інтерпретується як час.

Класифікація ВП:

1. за типом :

а) - дискретна, - процеси з дискретним часом.

У цьому випадку ВП - це послідовність в.в.

б) - процеси з неперервним часом.

2. За типом множини значень:

- дискретні - процеси з дискретним часом

- неперервні - процеси з неперервним часом

3. За способом опису спільних розподілів

Множину значень називають також множиною можливих станів.

- поле

Озн. 1)Процесом з незалежними приростами називається випадковий процес, визначенийй для із дискретною або неперервною множиною станів, для якого виконується умова: для будь-якого скінченого набору моментів часу випадкові величини - незалежні.

2. Однорідні ПНП - це процеси, у яких:

а) ;

б) розподіл залежить тільки від , тобто співпадає з розподілом .

3. Стохастично-неперервні ОПНП - це такі, у яких , тобто

Характеристична функція для с/н ОПНП

Із властивостей характеристичних функцій випливає, що

, .

Теорема Характеристична функція с/н ОПНП представляється у вигляді , де - кумулянта процесу.

Висновок: для задання с/н ОПНП необхідно і достатньо задати кумулянту

Теорема. (Про представлення кумулянти)

Кумулянта представляється у вигляді:

, де , - скінчена міра, що не має атома в нулі: .

Вінерівський процес.

, тобто . Позначається .

В цьому випадку процес можна вибрати так, що траєкторії процесу, тобто є для фіксованих неперервними.

Отже, - це с/н ОПНП, , з неперервними траєкторіями, і характеризується нормальним розподілом

Пуасонівський процес

1. 

-пуасонівськав.в.

Пуасонівським процесом називається однорідний процес з незалежними приростами, що дорівнює 0 в 0, у якого розподіл процесу в момент є пуасонівською випадковою величиною із параметром .

2. Друга характеризація ПП.

а) - кількість подій до моменту

- не залежить від приростів на будь-яких інших інтервалахі, які не перетинаються з

б) залежить тільки від (однорідність)

в) в кожний момент часу відбувається тільки одна подія потоку (ординарність)

Поток подій, який характеризується цими властивостями є найпростішим, а отже є процесом чистого росту чи пуасонівським

Екзаменаційний білет № 14

14.1. Лiнiйнiоднорiднiдиференцiальнiрiвняння n-го порядку iз сталими коефiцiєнтами. Побудова загального розв'язку.

Теорема. Загальним розв’язком лінійного однорідного рівняння

є лінійна комбінація - лінійно незалежних розв’язків . Доведення. Оскільки є розв’язками, то в силу третьої властивості їхня лінійна комбінація також буде розв’язком. Покажемо, що цей розв’язок загальний, тобто вибором сталих можна розв’язати довільну задачу Коші Дійсно, оскільки система розв’язків лінійно незалежна, то визначник Вронського відмінний від нуля й алгебраїчна система неоднорідних рівнянь

має єдиний розв’язок . І лінійна комбінація є розв’язком, причому, як видно із системи алгебраїчних рівнянь, буде задовольняти довільно обраним умовам Коші.

Властивість. Максимальне число лінійно незалежних розв’язків дорівнює порядку рівняння.

Це випливає з попередньої теореми, тому що будь-який розв’язок виражається через лінійну комбінацію - лінійно незалежних розв’язків.

Визначення. Будь-які -лінійно незалежних розв’язків лінійного однорідного рівняння -го порядку називаються фундаментальною системою розв’язків.

Лінійні однорідні рівняння з сталими коефіцієнтами

Розглянемо лінійні однорідні диференціальні рівняння з сталими коефіцієнтами .

Розв’язок будемо шукати у вигляді . Продиференціювавши, одержимо . Підставивши в диференціальне рівняння, отримаємо . Скоротивши на , одержимо характеристичне рівняння . Алгебраїчне рівняння -го степеня має - коренів. У залежності від їхнього вигляду будемо мати різні розв’язки.

1) Нехай - дійсні і різні. Тоді функції є розв’язками й оскільки всі різні, то - розв’язки лінійно незалежні, тобто фундаментальна система розв’язків. Загальним розв’язком буде лінійна комбінація

2) Нехай маємо комплексно спряжені корені . Їм відповідають розв’язки . Розкладаючи їх по формулі Ейлера, одержимо:

І, як випливає з властивості 4, функції й будуть окремими розв’язками. Таким чином, кореням відповідають два лінійно незалежних розв’язки . Загальним розв’язком, що відповідає цим двом кореням, буде .

3) Нехай - кратний корінь, кратності , тобто .

a) Розглянемо випадок . Тоді характеристичне рівняння вироджується в рівняння . Диференціальне рівняння, що відповідає цьому характеристичному, запишеться у вигляді . Неважко бачити, що частковими, лінійно незалежними розв’язками цього рівняння, будуть функції . Загальним розв’язком, що відповідає кореню кратності , буде лінійна комбінація цих функцій .

б) Нехай - корінь дійсний. Зробивши заміну , на підставі властивості 2 лінійних рівнянь після підстановки знову одержимо лінійне однорідне диференціальне рівняння . Причому, оскільки а , то показники зв'язані співвідношенням . Звідси кореню кратності відповідає корінь кратності . Як випливає з попереднього пункту, кореню кратності відповідає загальний розв’язок вигляду . З огляду на те, що , одержимо, що кореню кратності відповідає розв’язок .

в) Нехай характеристичне рівняння має корені кратності . Проводячи аналогічні викладки одержимо, що їм відповідають лінійно незалежні розв’язки

І загальним розв’язком, що відповідає цим кореням буде