Екзаменаційний білет № 20

1. Градiєнт, дивiргенцiя I вихор векторного поля.

Озн. Говорять, що задане скалярне поле, якщо кожній точці М простору поставлено у відповідність деяке число f(M). Якщо кожній точці М простору поставлено у відповідність деякий вектор R(M), то говорять, що задане векторне поле.

Поняття градієнту. Нехай (М) – скалярне поле, визначене в області V простору (x, y, z), (l) – довільна крива, що лежить в V і проходить через фіксовану точку , l – довжина дуги кривої (l) від точки M₀ до точки М. Якщо існує скінчена границя відношення при , то вона називається похідною поля (М) в точці M₀ вздовж лінії (l) і позначається символом : . Якщо ф-ція(М) диференційовна в точці M₀ , то її похідна вздовж лінії (l) існує і для всіх ліній, що виходять з точки M₀ , з однією і тією ж дотичною величина цієї похідної одна і та ж, а сама похідна називається похідною за даним напрямком  і обраховується за формулою: . Вектор називається градієнтом. Він спрямований із точки M₀ в бік найшвидшого зростання ф-ції(М), а за абсолютною величиною рівний похідній поля (М) в цьому напрямку.

.

Поняття дивергенції. Нехай S – скінчена гладка поверхня, а R(M) – довільне векторне поле, задане в деякій області V, що містить всі точки поверхні S. Якщо поверхня S, що обмежує об’єм V, замкнена і існує границя при стягуванні об’єму V в точку Р, (де – потік векторного поля) , то ми називаємо її дивергенцією поля R в точці Р і позначаємо div R(P): . Таким чином за визначенням дивергенцією є щільність адитивної функції областей – потоку векторного поля R через замкнену поверхню S.

Поняття вихора векторного поля. Нехай R(M) – довільне векторне поле, задане в скінченій області V з гладкою границею S, n(M) – одиничний вектор зовнішньої нормалі до поверхні S в точці M . Вектор-функція називається циркуляцією поля R(M) по межі області V. Якщо існує границя при стягування об’єму V в точку Р , то вектор q(P) називається вихорем, чи ротором поля R(M) в точці Р і позначається rot R(P): . Таким чином, за визначенням вихор – це щільність адитивної функції областей – циркуляції векторного поля по його межі області.

20.2 Слабко-ефективні альтернативи. Теорема Гермейєра.

Альтернатива називаєтьсяоптимальною за Слейтером (слабко-ефективною), якщо не існуєальтернативи такої, що , тобто для якої .Множинаоптимальних за Слейтером (слабко-ефективних альтернатив)буде позначатися через S(X).

Теорема . (умовислабкоїефективностіоцінок (Гермейер)). Припустимо, що . Оцінка є слабко-ефективноютоді й тількитоді, коли існує вектор ,такий що:

(1)

Для слабко-ефективноїоцінки можнаприйняти

де – вектор з компонентами

(2)

Доведення. Достатність. Ізрівності (1) випливає, що для кожного існує номер такий, що . Тому ¬∃y ∈Y : .Звідси є слабко-ефективноюоцінкою.

Доведемонеобхідність. Для цьоговізьмемо вектор із компонентами, яківизначені формулами (2). Відмітимо, що . З випливає, що для кожного y ∈Y існує j ∈M , при якомувиконуєтьсянерівність , а, отже, і нерівність . Оскільки , то . Звідсивипливає (2).