18.2Аксiоматичне означення ймовiрностей. Формула повної ймовiрностi та формула Байеса.

Спочату введемо кілька допоміжних понять.

Озн. Множина U є алгеброю, якщо

1)

2) і

3).

Озн. Множина U є -алгеброю, якщо

1)

2) і

3).

Будемо вважати, що множина всіх подій утворює -алгебру.

Озн. Числову функцію, задану на множині всіх подій U, будемо називати ймовірністю, якщо

1. Р(А) 0;

1. Р( )=1; Р( )=0;

2. .

Озн.Ймовірноснийпростір- це трійка об єктів: ( ).

Озн. Під аксіоматикою теорії ймовірності розуміють три властивості, накладені на U, і три властивості накладені на Р.

Відомо ряд важливих наслідків з цих властивостей, які легко доводяться. Приведемо їх.

1. Якщо , то _.

2. .

3. P( )= 0.

4. P( )=P(A)+P(B)-P( ), .

5. Неперервність зверху:

і = , тоді має місце .

Озн. Умовною ймовірністю прийнято називати величину Р(А/В)=

Озн. А і В - незалежні події, якщо Р( )=Р(А)Р(В).

Озн. Кажуть, що утв-ють повну групу подій, якщо

.

Формула повної ймовірності має вигляд, якщо - повна група подій,

. Дійсно

Формула Баєса відповідно має вигляд (при тих же припущеннях)

Екзаменаційний білет № 19

1. Задача однофакторного дисперсійного аналізу та її розв’язання.

Нехай –деякаскалярнакількісназмінна, – деякаякіснанезалежназмінна, яка

має градацій. При фіксованійі-й градаціївважаємо, що є спостережень над залежною змінною, якіпозначимо через ,

(4)

Припустимо, щопомилкимоделі:

1)нормально розподілені ;

2)незалежні.

Запишемо модель (4) в матричному вигляді:

(5)

Перепишемо у матричному вигляді

(6),

де матриця розмірності .

Лекція 8

Будемо вважати, що помилки моделі незалежні і нормально розподілені. Позначимо через - загальну кількість вимірів, тоді для нашої моделі маємо розмірності векторів .

Щоб оцінка існувала потрібно, щоб , тобто

. (7)

З (6) та (7) можемо отримати оцінку параметрів . Принциповим моментом є з’ясування суттєвості впливу однієї градації на іншу.

Запишемо це математично: . (8)

Розв’яжемо задачу перевірки цієї гіпотези та паралельно знайдемо параметри .

Ця гіпотеза є лінійною, запишемо її у стандартному вигляді:

.

Позначимо - нульову матрицю, - нульовий вектор, тоді перепишемо нашу гіпотезу згідно цих позначень: . (9)

Фактично потрібно перевірити гіпотезу (9) для моделі (6) при наявності умов (7).

Згідно теореми область прийняття гіпотези матиме вигляд:

,де (*)

.

Зауваження. ЯкщоI-1 параметр є нульовими, то і I-й параметр теж нульовий, згідно (7).

Знайдемо . Відомо, що оцінка методом найменших квадратів є розв’язком

системи нормальних рівнянь . (10)

Перепишемо систему в матричному вигляді:

, де .

Розглянемо окреме рівняння системи, отримаємо

, (11)

тобто оцінкою абсолютного впливу і-тої градації є .

Звідси маємо . (12)

Скористаємось (7): , згідно (12) отримаємо:

,

, (13)

. (14)

Згідно викладеного вище отримаємо . (15)

L – лінійне обмеження, еквівалентне (8), тому ,

де - вектор стовпчик при обмеженні L (8),

.- загальне середнє по всім вимірам (16)

Наслідок (Зауваження.1)

(17)

(Дивись структуру матриці Х.)

Підставимо (15) та (17) в Fі отримаємо

. (18)

Таким чином, для однофакторної моделі дисперсійного аналізу оцінки її

параметрів визначаються згідно (13), (14), а область прийняття гіпотези (8) для

об’єкту (4) при наявності лінійних обмежень (7) має вигляд (18).

Впевнимось в справедливості тотожності:

.

Таблиця результатів однофакторного дисперсійного аналізу.

Джерело Варіацій	Сума Квадратів	КСС	ССК	F
Між Градаціями		I-1
Всередині Градацій		N-I
..,,		N-1

- максимальна ймовірність при котрій гіпотеза приймається (рівень значимості).