17.2Випадковi величини. Властивостiфункцiйрозподiлу.

Нехай маємо ймовірносний простір ( , F, P). - деяка функція, визначена на .

Озн. -буде вимірною функцією, якщо

, де F алгебра.

Озн. Вимірна функція - випадкова величина ,

Озн. F(x)= - функція розподілу випадкової величини .

Властивості функцій розподілу.

1. F(x) – невід’ємна

2. F(x) - монотонно неспадна.(x1>=x2 => F(x1)>=F(x2) )Справді:

Отже

3. F(x) - неперервна зліва. Тобто F(x-0) = F(x)

4. Нормованою F(- ) = 0 , F(+ ) = 1.

Дискретні випадкові величини.

Нехай <> ймовірнісний простір. Дискретноювипадковою величиною називається функція  на , яка набуває скінченне або зліченне число значень х₁, х₂, …, х_n, … і є вимірною відносно  алгебри . Це означає, що для кожного х_і{  : x}  (1).Дійсно, якщо для функції  має місце співвідношення (1), то ця функція вимірна відносно , так як для кожного дійсного х {  : x}= {  : x_і} . Крім того, якщо  вимірна відносно  алгебри , то за Теоремою 1 для кожного дійсного х {  : x } . Таким чином, якщо  дискретна випадкова величина на ймовірнісному просторі <>, яка приймає значення х₁, х₂, …, х_n, …, то для кожного n визначена ймовірність Р_n=Р{  : x_n} Нехай () – дискретна випадкова величина, яка набуває значення х₁,…, х_і,…. Набір чисел Р{:()=x_i}=p_i(i=1,2,…) називають розподілом випадкової величини . Зрозуміло, що р_і 0, .

Функція розподілу дискретної випадкової величини () визначається рівністю

Сумісний розподіл випадкових величин() і (). Нехай () – дискретна випадкова величина, яка набуває значень х₁, х₂,…, х_і,…,() – дискретна випадкова величина, яка набуває значень y₁, y₂,…, y_і,…. Набір чисел Р{:()=x_i, ()=y_i}=p_ij(i=1, 2, …; j=1, 2, …) називається сумісним розподілом випадкових величин  і  (розподілом випадкового вектора (, )). Мають місце такі твердження:

а) р_ij0,

б) де {p_i} розподіл (), {q_i} – розподіл ().

Незалежні випадкові величини. Випадкові величини  і  н а з и в а ю т ь с я н е з а л е ж н и м и, якщо для будь-яких i j

P{()=x_i, ()= y_i} = P{()=x_i}  P{()= y_i}.

Математичне сподівання випадкової величини. Нехай () – дискретна випадкова величина, яка набуває значень х_і з імовірностямир_і(і=1, 2, …). Припустимо, що ряд х_ір_і збігається. Тоді м а т е м а т и ч н и м с п оді-

в а н н я м випадкової величини () називається сума ряду М () = Якщо х_ір_і=+, то кажуть, що випадкова величина () не має математичного сподівання. Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань.