Дональд Кнут. Искусство программирования. т.3 / knuth3

Original pages: 124-129 71

16.[М24] Найдите формулу максимального числа инверсий в h-упорядоченной перестановке множества f1; 2; : : : ; n g. Каково максимально возможное число перемещений, выполняемых алгоритмом D, если шаги сортировки удовлетворяют условию делимости (5)?

17.[M21] Покажите, что если N = 2t и hs = 2s−1 при t s 1, то существует единственная перестановка множества f1; 2; : : :; N g, максимизирующая число перемещений, выполняемых алгоритмом D. Найдите простой способ описания этой перестановки.

18.[ВМ24] При больших значениях N сумму (6) можно оценить величиной

Каковы действительные числа ht, : : : , h1, минимизирующие это выражение, если N и t фиксированы, a h1 = 1?

>19. [М25] Каково среднее значение величины A в анализе времени работы программы D, если шаги сортировки удовлетворяют условию делимости (5)?

20.[М20] Покажите, что теорема K следует из леммы L.

21.[М25] Пусть h и k—взаимно простые целые положительные числа. Покажите, что наибольшее целое число, которое нельзя представить в виде ah + bk, где a и b—неотрицательные целые числа, равно hk − h − k. Следовательно, если файл является одновременно h-упорядоченным и k-упорядоченным, то Ki Kj при j − i (h − 1)(k − 1).

22.[M30] Докажите, что любое целое число 2h(2h − 1) можно представить в виде a0(2h − 1) +

a1(2h+1−1)+a2(2h+2−1)+: : :, где aj—неотрицательные целые числа; но число 2h(2h −1)−1нельзя представить в таком виде. Более того, существует ровно 2h−1(2h + h − 3) целых положительных чисел, которые нельзя представить в таком виде.

Найдите аналогичные формулы для случая, когда в этом представлении выражение 2k − 1 заменено на 2k + 1.

>23. [М22] Докажите, что если hs+2 и hs+1 взаимно просты, то число перемещений, выполняемых алгоритмом D при просмотре с шагом hs, есть O(Nhs+2hs+1=hs). (Указание: см. упр. 21.)

24.[М42] Докажите, что теорема P—наилучшая из возможных теорем в том смысле, что показатель 3=2 нельзя уменьшить.

>25. [M22] Сколько существует перестановок множества f1; 2; : : : ; n g, являющихся одновременно 3-упорядоченными и 2-упорядоченными? Каково максимальное число инверсий в такой перестановке? Чему равно суммарное число инверсий во всех таких перестановках?

26.[М35] Может ли 3-, 5- и 7-упорядоченный файл из N элементов содержать более N инверсий?

27.[М50] Предложите эффективный алгоритм построения перестановок, которые требуют максимального числа операций перемещения в алгоритме D при заданных N, ht, ht−1, : : : , h1.

28.[15] Какая из последовательностей шагов, указанных в табл. 6, наилучшая для программы D с точки зрения суммарного времени работы?

29.[М42] Найдите для N = 1000 и различных значений t эмпирические значения ht, : : : , h1, которые, быть может, минимизируют среднее число операций перемещения в алгоритме D в том смысле, что если изменить одну из величин h, не меняя остальных, то среднее число перемещений возрастет.

30.[М23] (В. Пратт.) Покажите, что если множество шагов есть f2p3q j 2p3q < N g, то число про-

смотров равно примерно 12(log2 N)(log3 N) и на каждый просмотр приходится не более N=2 операций перемещения. В действительности при любом просмотре, если Kj−h > Kj, то всегда Kj−3h,

Kj−2h > Kj < Kj−h Kj+h, Kj+2h, так что можно просто поменять местами Kj−h и Kj и увеличить j на 2h, сэкономив в алгоритме D 2 сравнения. (Указание: cм. упр. 25.)

>31. [25] Напишите MIX-программу для алгоритма сортировки, предложенного В. Праттом (упр. 30). Выразите ее время работы через величины A, B, S, T, N, аналогичные соответствующим величинам в программе D.

32.[10] Каково будет окончательное содержимое связей L0L1 : : :L16, если провести до конца сортировку списка вставками в табл. 8?

>33. [25] Найдите способ усовершенствовать программу L, чтобы ее время работы определялось величиной 5B, а не 7B, где B—число инверсий.

34.[М10] Проверьте формулу (10).

35.[18] Предположим, что размер байта машины MIX равен 100 и шестнадцать ключей в табл. 8 равны на самом деле 503 000, 087 000, 512 000, : : : , 703 000. Определите время работы программ M и L с этими данными при M = 4.

72Original pages: 130-133

36.[ВМ16] Если программа выполняется приблизительно за A=M + B единиц времени и использует C + M ячеек памяти, то при каком выборе M достигается оптимальное значение произведения пространства на время?

37.[М25] Пусть gn(z)—производящая функция для числа инверсий в случайной перестановке n элементов (ср. с формулой (5.1.1-11)). Пусть gNM(z)—соответствующая производящая функция для величины B в программе M. Покажите, что

и воспользуйтесь этой формулой для вывода дисперсии величины B.

38.[ВМ23] (Р. М. Карп.) ПустьF(x)—некоторая функция распределения вероятностей, причем F(0) =

0 и F(1) = 1. Докажите, что если ключи K1, K2, : : : , KN независимо выбираются случайным образом из этого распределения и M = cN, где c—константа, а N ! 1, то время работы программы M есть O(N), если только F—достаточно гладкая функция. (Ключ K вставляется в список j, если bMKc = j − 1; это случается с вероятностью F(j=M) − F((j − 1)=M). В тексте рассматривался лишь случай F(x) = x, 0 x 1.)

Упражнения

1.[М25](Беспорядок в библиотеке.) Небрежные читатели часто ставят книги на полки в библиотеке не на свое место. Один из способов измерить степень беспорядка в библиотеке—посмотреть, какое минимальное количество раз пришлось бы брать книгу с одного места и вставлять ее в другое место до тех пор, пока книги не окажутся расположенными в правильном порядке.

Пусть = a1 a2 : : : an—перестановка множества f1; 2; : : :; ng. ”Операция удаления-вставки” заменяет на

a1 a2 : : : ai−1 : : : aj ai aj+1 : : : an

или на

a1 : : : aj ai aj+1 : : : ai−1 ai+1 : : : an

при некоторых i и j. Пусть dis( )—минимальное число операций удаления-вставки, необходимое для упорядочения перестановки . Можно ли выразить dis( ) через более простые характеристики ?

2.[40] Проведите эксперименты со следующей модификацией сортировки с убывающим шагом, имеющей целью ускорение ”внутреннего цикла”: для s = t, t − 1, : : :, 2 и для j = hs + 1, hs + 2,

: : : , N поменять местами Rj−hs $ Rj, если Kj−hs > Kj. (Таким образом, результат обменов не распространяется; не производится сравнений Kj−hs : Kj−2hs . Записи не обязательно будут hs- отсортированы, но эти предварительные просмотры способствуют сокращению числа инверсий.) Сортировка завершается применением простых вставок.

5.2.2. Обменная сортировка

Мы подошли теперь ко второму из семейств алгоритмов сортировки, упомянутых в самом начале x 5.2,—к методам ”обменов” или ”транспозиций”, предусматривающих систематический обмен местами между элементами пар, в которых нарушается упорядоченность, до тех пор, пока таких пар не останется.

Процесс простых вставок (алгоритм 5.2.1S) можно рассматривать как обменную сортировку: мы берем новую запись Rj и, по существу, меняем местами с соседями слева до тех пор, пока она не займет нужного места. Таким образом, классификация методов сортировки по таким семействам, как ”вставки”, ”обмены”, ”выбор” и т. д., не всегда четко определена. В этом пункте мы рассмотрим четыре типа методов сортировки, для которых обмены являются основной характеристикой: обменную сортировку с выбором (”метод пузырька”), обменную сортировку со слиянием (параллельную сортировку Бэтчера), обменную сортировку с разделением (”быструю сортировку” Хоара), поразрядную обменную сортировку.

Метод пузырька. Пожалуй, наиболее очевидный способ обменной сортировки—это сравнивать K1 с K2, меняя местами R1 и R2, если их ключи не упорядочены, затем проделать то же самое с R2 и R3, R3 и R4 и т. д. При выполнении этой последовательности операций записи с большими ключами будут продвигаться вправо, и на самом деле запись с наибольшим ключом займет положение RN. При многократном выполнении этого процесса соответствующие записи попадут в позиции RN−1, RN−2 и т. д., так что в конце концов все записи будут упорядочены.

Original pages: 130-133 73

На рис. 14 показано действие этого метода сортировки на шестнадцати ключах 503 087 512: : :703. Файл чисел удобно

представлять не горизонтально, а вертикально, чтобы запись RN была сверху, a R1—снизу. Метод назван ”методом пузырька”, потому что большие элементы, подобно пузырькам, ”всплывают” на соответствующую позицию в противоположность ”методу погружения” (т. е. методу простых вставок), в котором элементы погружаются на соответствующий уровень. Метод пузырька известен также под более прозаическими именами, такими, как ”обменная сортировка с выбором” или метод ”распространения”. Нетрудно видеть, что после каждого просмотра файла все записи, начиная с самой последней, которая участвовала в обмене, и выше, должны занять свой окончательные позиции,так что их не нужно проверять при последующих просмотрах. На рис. 14 такого рода продвижения алгоритма отмечены черточками. Заметим, например, что после четвертого просмотра стало известно, что еще пять записей заняли свои окончательные позиции. При последнем, просмотре вообще не было произведено обменов. Теперь, сделав эти наблюдения, мы готовы сформулировать алгоритм.

Алгоритм В. (Метод пузырька.) Записи R1, : : : , RN переразмещаются на том же месте; после завершения сортировки их ключи будут упорядочены: K1 : : : KN.

В1 [Начальная установка BOUND.] Установить BOUND N. (BOUND—индекс самого верхнего элемента, о котором еще не известно, занял ли он уже свою окончательную позицию; таким образом, мы отмечаем, что к этому моменту еще ничего не известно.)

В2 [Цикл по j.] Установить t 0. Выполнить шаг ВЗ при j = 1, 2, : : : , BOUND − 1. Затем перейти к шагу В4. (Если BOUND = 1, то сразу перейти к В4.)

В3 [Сравнение/обмен Rj : Rj+1]8). Если Kj > Kj+1, то поменять местами Rj $ Rj+1 и установить

tj.

В4 [Были ли обмены?] Если t = 0, то завершить работу алгоритма. В противном случае установить BOUND t и возвратиться к шагу В2.

Picture: Рис. 15. Блок-схема сортировки методом пузырька.

Программа В. (Метод пузырька.) Как и в предыдущих MIX-программах этой главы, мы предполагаем, что сортируемые элементы находятся в ячейках INPUT + 1, : : :, INPUT + N; регистры: rI1 t; rI2 j.

Анализ метода пузырька. Очень полезно исследовать время работы алгоритма В. Оно определяется тремя величинами: числом просмотров A, числом обменов B и числом сравнений C. Если исходные ключи различны и расположены в случайном порядке, то можно предположить, что они образуют случайную перестановку множества f1; 2; : : :; ng. Понятие таблицы инверсий (п. 5.1.1) приводит к простому способу описания действия каждого просмотра при сортировке методом пузырька.

8 Здесь, как и ранее, двоеточие используется для обозначения оператора сравнения.—Прим. ред.

74Original pages: 134-139

Теорема I. Пусть a1 a2 : : : an—перестановка множества f1; 2; : : :; ng, а b1 b2 : : :bn—соответствующая таблица инверсий. Если в результате очередного просмотра при сортировке методом пузырька (алго-

ритм В) перестановка a1 a2 : : :an преобразуется в a01 a02 : : : a0n, то соответствующая таблица инверсий b01 b02 : : :b0n получается из b1 b2 : : : bn уменьшением на единицу каждого нулевого элемента.

Доказательство. Если перед ai имеется больший элемент, то ai поменяется местами с наибольшим из предшествующих элементов, так что bi уменьшится на единицу. С другой стороны, если перед ai нет элемента, большего ai, то ai никогда не поменяется местами с большим элементом, так что bai останется 0.

Итак, можно разобраться в том, что происходит в процессе сортировки методом пузырька, изучая последовательность таблиц инверсий между просмотрами. Вот как выглядят, например, таблицы

и т. д. Поэтому, если b1 b2 : : : bn—таблица инверсий исходной перестановки, то должны выполняться равенства

Пусть fj(k)—число таких таблиц инверсий b1 : : : bn (n фиксировано), что при 1 i n либо bi < j −1, либо bi + i − j k; тогда

0 k n−j

Original pages: 134-139 75

Определить асимптотическое значение здесь не так просто, и мы вернемся к нему в конце этого пункта.

Чтобы подвести итог нашего анализа метода пузырька, запишем формулы, выведенные выше (а также ниже), следующим образом:

p

Во всех случаях минимум достигается, когда исходный файл уже упорядочен, а максимум—когда записи расположены в обратном порядке; таким образом, время работы для машины MIX равно 8A + 7B + 8C + 1 = (min 8N + 1; ave5:75N2 + O(N lnN); max7:5N2 + 0:5N + 1).

Усовершенствования метода пузырька. Мы потратили много усилий на анализ метода пузырька, и, хотя способы, применявшиеся при вычислениях, поучительны, результаты разочаровывают, поскольку они говорят о том, что метод пузырька вовсе не так уж хорош. По сравнению с простыми вставками (алгоритм 5.2.1S) метод пузырька описывается более сложной программой и требует примерно в 2 раза больше времени!

Можно предложить несколько путей улучшения метода пузырька. Например, на рис. 14 первое сравнение в 4-м просмотре излишне, так же как и первые два сравнения в 5-м просмотре и первые три в 6-м и 7-м просмотрах. Заметим также, что за один просмотр элемент не может переместиться более чем на одну позицию влево; так что если наименьший элемент вначале находился в правом конце, то мы вынуждены выполнить максимальное число сравнений. Это наводит на мысль о ”шейкерсортировке”, когда файл просматривается попеременно в обоих направлениях (рис. 16). При таком подходе среднее число сравнений несколько сокращается. К. Э. Айверсон [A Programming Language (Wiley, 1962), 218–219] сделал интересное в этом отношении наблюдение: если j—такой индекс, что Rj и Rj+1 не меняются местами при двух последовательных просмотрах

Picture: Рис. 16. ”Шейкер-сортировка”.

в противоположных направлениях, то записи Rj и Rj+1 должны занимать свои окончательные позиции, и они могут не участвовать в последующих сравнениях. Например, просматривая перестановку 4 3 2 1 8 6 9 7 5 слева направо, получаем 3 2 1 4 6 8 7 5 9: записи R4 и R5 не поменялись местами. При просмотре последней перестановки справа налево R4 все еще меньше (новой) записи R5; следовательно, можно сразу же сделать вывод о том, что записи R4 и R5 могут и не участвовать ни в одном из последующих, сравнений.

Однако ни одно из этих усовершенствований не приводит к лучшему алгоритму, чем алгоритм сортировки простыми вставками, а мы уже знаем, что даже он не годится при больших N. Другая идея состоит в том, чтобы избежать большинства обменов. Так как большая часть элементов во время обменов просто сдвигается на один шаг влево, то можно было бы достичь того же эффекта, иначе рассматривая массив—сместив начало отсчета! Но полученный алгоритм не превосходит метода простого выбора (алгоритм 5.2.3S), который мы изучим позже.

Короче говоря, метод пузырька, кажется, не обладает никакими достоинствами, за которые его можно было бы порекомендовать, если не считать легко запоминающегося названия и интересных теоретических задач, к которым он приводит.

Параллельная сортировка Бэтчера. Если мы хотим получить алгоритм обменной сортировки, время работы которого имеет порядок, меньший N2, то необходимо подбирать для сравнений некоторые пары несоседних ключей (Ki; Kj); иначе придется

выполнить столько обменов, сколько инверсий имеется в исходной перестановке, а среднее число инверсий равно (N2 − N)=4. В 1964 г. К. Э. Бэтчер [Proc. AFIPS Spring Joint Computer Conference, 32 (1968), 307–314] открыл один искусный способ запрограммировать последовательность сравнений, предназначенную для отыскания возможных обменов. Его метод далеко не очевиден. В самом деле, только для того, чтобы показать его справедливость, требуется весьма сложное доказательство, так как выполняется относительно мало сравнений. Мы обсудим два доказательства, одно в этом пункте и одно в п. 5.3.4.

76 Original pages: 140-141

Схема сортировки Бэтчера несколько напоминает сортировку Шелла, но сравнения выполняются по-новому, так что распространение обменов не обязательно. Так, можно сравнить табл. 1 с табл. 5.2.1- 3. Сортировка Бэтчера действует как 8-сортировка, 4-сортировка, 2-сортировка и 1-сортировка, но сравнения не перекрываются. Так как в алгоритме Бэтчера, по существу, происходит слияние пар отсортированных подпоследовательностей, то его можно назвать ”обменной сортировкой со слиянием”.

Алгоритм M. (Обменная сортировка со слиянием.) ЗаписиR1, : : :, RN переразмещаются на том же месте. После завершения сортировки их ключи будут упорядочены: K1 : : : KN. Предполагается, что N 2.

В табл. 1 этот метод проиллюстрирован при N = 16. Заметим, что алгоритм сортирует N элементов, по существу, путем независимой сортировки подфайлов R1, R3, R5, : : : и R2, R4, R6, : : :, после чего выполняются шаги M2, : : : , M5 с p = 1, чтобы слить две отсортированные последовательности.

Чтобы доказать, что магическая последовательность сравнений/обменов, описанная в алгоритме M, действительно сортирует любой файл R1 R2 : : : RN, мы должны показать только, что в результате выполнения шагов от M2 до M5 с p = 1 будет слит любой 2-упорядоченный файл R1 R2 : : : RN. Для этой цели можно воспользоваться методом решеточных диаграмм из п. 5.2.1 (см. рис. 11); каждая 2-упорядоченная перестановка множества f1; 2; : : : ; N g соответствует на решетке единственному пути из вершины (0; 0) в (dN=2e; bN=2c). На рис. 18(а) показан

пример при N = 16, соответствующий перестановке 1 3 2 4 10 5 11 6 137148 159 16 12. Действие шага M3 при p = 1, q = 2t−1, r = 0, d = 1 состоит в сравнении (и, возможно, обмене) записей R1 : R2, R3 : R4

ит. д. Этой операции соответствует простое преобразование решеточного пути: ”перегиб” относительно диагонали, если необходимо, так, чтобы путь нигде не проходил выше диагонали. (См. рис. 18(b)

идоказательство в упр. 10.) Действие последующих повторений шага M3 с p = r = 1 и d = 2t−1 − 1, 2t−2 − 1, : : : , 1 состоит в сравнении/обмене записей R2 : R2+d, R4 : R4+d и т. д., и опять имеется простая геометрическая интерпретация: путь ”перегибается” относительно прямой, расположенной на (d+l)=2единиц ниже диагонали (см. рис. 18(c) и (d)). В конце концов приходим к пути, изображенному на рис. 18(e), который соответствует полностью отсортированной перестановке. На этом ”геометрическое доказательство” справедливости алгоритма Бэтчера завершается; этот алгоритм можно было бы назвать сортировкой посредством перегибов!

MIX-программа для алгоритма М приведена в упр. 12. К сожалению, количество вспомогательных операций, необходимых для управления последовательностью сравнений, весьма велико, так что программа менее эффективна, чем другие методы, которые мы разбирали. Однако алгоритм обладает одним важным компенсирующим качеством: все сравнения/обмены, определяемые данной итерацией шага МЗ, можно выполнять одновременно на ЭВМ или логических схемах, которые допускают параллельные

вычисления. С такими параллельными операциями сортировка выполняется за 12dlog2 Ne(dlog2Ne+1) шагов, и это один из самых быстрых известных общих методов. Например, 1024 элемента можно отсортировать методом Бэтчера всего за 55 параллельных шагов. Его ближайшим соперником является метод Пратта (см. упр. 5.2.1–30), который затрачивает 40 или 73 шага в зависимости от

Original pages: 142-149 77

того, как считать: если мы готовы допустить перекрытие сравнений до тех пор, пока не потребуется выполнять перекрывающиеся обмены, то для сортировки 1024 элементов методом Пратта требуется всего 40 циклов сравнения/обмена. Дальнейшие пояснения см. в п. 5.3.4.

”Быстрая сортировка”. В методе Бэтчера последовательность сравнений предопределена: каждый раз сравниваются одни и те же пары ключей независимо от того, что мы могли узнать о файле из предыдущих сравнений. Это утверждение в большой мере справедливо и применительно к методу пузырька, хотя алгоритм В и использует в ограниченной степени полученные сведения, с тем чтобы сократить количество работы в правом конце файла. Обратимся теперь к совсем иной стратегии, при которой используется результат каждого сравнения, чтобы определить, какие ключи сравнивать следующими. Такая стратегия не годится для параллельных вычислений, но она может оказаться плодотворной для вычислительных машин, работающих последовательно.

Итак, рассмотрим следующую схему сравнений/обменов. Имеются два указателя i и j, причем вначале i = l, a j = N. Сравним Ki : Kj, и если обмен не требуется, то уменьшим j на единицу и повторим этот процесс. После первого обмена увеличим i на единицу и будем продолжать сравнения, увеличивая i, пока не произойдет еще один обмен. Тогда опять уменьшим j и т. д.; будем ”сжигать свечку с обоих концов”, пока не станет i = j. Посмотрим, например, что произойдет с нашим файлом из шестнадцати чисел:

(Чтобы выявить состояние i и j, ключи Ki и Kj напечатаны жирным шрифтом.) Заметим, что в каждом сравнении этого примера участвует ключ 503; вообще в каждом сравнении будет участвовать исходный ключ K1, потому что он будет продолжать обмениваться местами с другими ключами каждый раз, когда мы переключаем направление. К моменту, когда i = j, исходная запись R1 займет свою окончательную позицию, потому что, как нетрудно видеть, слева от нее не будет больших ключей, а справа—меньших. Исходный файл окажется разделен таким образом, что первоначальная задача сведется к двум более простым: сортировке файла R1 : : : Ri−1 и (независимо) сортировке файла Ri+1 : : : RN. К каждому из этих подфайлов можно применить тот же самый метод.

В табл. 2 показано, как выбранный нами для примеров файл полностью сортируется при помощи этого метода за 11 стадий. В скобки заключены подфайлы, которые еще предстоит отсортировать; в машине эти подфайлы можно представлять двумя переменными l и r (границы рассматриваемого в данный момент файла) и стеком дополнительных пар(lk; rk). Каждый раз, когда файл подразделяется,

78Original pages: 142-149

мы помещаем в стек больший из подфайлов и начинаем обрабатывать оставшийся, и так до тех пор, пока не придем к тривиально коротким файлам; как показано в упр. 20, такая процедура гарантирует,

что в стеке никогда не будет находиться более, чем примерно log2 N элементов.

Только что описанную процедуру сортировки можно назвать обменной сортировкой с разделением; она принадлежит Ч. Э. Р. Хоару, интереснейшая статья которого [Comp. J., 5 (1962), 10– 15]—одно из наиболее исчерпывающих из когда-либо опубликованных сообщений об этом методе. Хоар окрестил свой метод ”quicksort” (”быстрая сортировка”), и это название вполне соответствует действительности, так как, например, весь процесс сортировки, показанный в табл. 2, требует всего 48 сравнений (меньше любого другого встречавшегося уже метода, за исключением бинарных вставок, требующих 47 сравнений).

Во всех сравнениях на данной стадии участвует один и тот же ключ, так что его можно хранить в регистре. Кроме того, количество перемещений данных весьма умеренно: при вычислениях табл. 2 произведено всего 17 обменов, причем большинство из них—просто ”полуобмены” (простые пересылки), так как один из ключей все время остается в регистре, и его не нужно записывать до самого конца стадии.

Вспомогательные операции (требуемые для управления стеком и переменнымиi, j) не сложны, но из-за них процедура быстрой сортировки посредством разделений пригодна в основном для больших значений N; поэтому короткие подфайлы желательно сортировать особом образом, как это делается в следующем алгоритме.

Алгоритм Q. (Обменная сортировка с разделением.) Записи R1, : : : , RN переразмещаются на том же месте; после завершения сортировки их ключи будут упорядочены: K1 : : : KN. Нужен вспомогательный стек для хранения не более чем log2 N элементов. Этот алгоритм соответствует процедуре ”быстрой сортировки” посредством разделений, приведенной выше, с небольшими изменениями в целях повышения эффективности:

a) Предполагается наличие искусственных ключей K0 = −1 и KN+1 = +1, таких, что

(Равенство допускается.)

b)Подфайлы, состоящие из M и менее элементов, сортируются простыми вставками, где M 1—параметр, который выбирается, как описано ниже.

c)На некоторых стадиях делается одно или два дополнительных сравнения (допускается перекрытие указателей i, j), чтобы основные циклы сравнения выполнялись настолько быстро, насколько это возможно.

d)Записи с одинаковыми ключами меняются местами, хотя это не является строго необходимым. (Эта идея, принадлежащая Р. К. Синглтону, способствует разделению подфайлов почти пополам, если имеются равные ключи; см. упр. 18.)

Original pages: 142-149 79

до тех пор, пока не выполнится условие Ki K; затем установить Ri+1 R. (Это, по существу, алгоритм 5.2.1S, примененный к подфайлу из M или менее элементов.)

Q9 [Взять из стека.] Если стек пуст, то сортировка завершена; в противном случае взять верхний элемент стека (l0; r0), установить l l0, r r0 и возвратиться к шагу Q2.

Соответствующая MIX-программа довольно велика, но не сложна; на самом деле большая часть команд относится к шary Q7, в котором проводятся весьма простые манипуляции с переменными.

Программа Q. (Обменная сортировка с разделением.) Записи, которые предстоит отсортировать, находятся в ячейках INPUT + 1, : : : , INPUT + N; предполагается, что в ячейках INPUT и INPUT + N + 1 содержатся значения, соответственно минимально, и максимально допустимые в машине MIX. Стек располагается в ячейках STACK+1, STACK+2, : : :; точное число ячеек, которое необходимо отвести под стек, обсуждается в упр. 20. Значения регистров: rI1 l, rI2 r, rI3 i, rI4 j, rI6 размер стека, rA K R.

Анализ ”быстрой сортировки”. Информацию о времени выполнения, приведенную вместе с программой Q, нетрудно вывести из закона Кирхгофа, или закона сохранения (см. п. 1.3.3), и из того факта, что все помещенное в стек в конце концов оттуда извлекается. Общее время работы зависит от следующих величин:

так как время работы для C0 и C00 одинаково. Изучив семь величин: A, B, C, D, E, Lи X, мы сможем разумно выбрать параметр M, которым определяется ”порог” между сортировкой простыми вставками и разделением. (Если читатель не математик, он может пропустить все вплоть до формул (25).)

Как и при анализе большинства других алгоритмов в этой главе, мы будем предполагать, что сортируемые ключи различны; в упр. 18 показано, что наличие равных ключей не снижает существенно эффективности алгоритма Q; в действительности присутствие равных ключей, по-видимому, даже способствует ее увеличению. Так как метод зависит только от относительного расположения ключей, то можно предполагать также, что это просто числа f1; 2; : : :; N g, расположенные в некотором порядке.

Когда мы впервые достигаем шага Q2, сортировка сводится к простым вставкам, если N M, а это мы уже изучили; поэтому предположим, что N > M. Необходимо лишь разобраться в вычислениях, которые в первый раз приводят к шагу Q7; нетрудно видеть, что при разделении записи в обоих подфайлах R1 : : : Ri−1 и Ri+1 : : : RN будут расположены в случайном порядке, если только записи исходного файла были расположены в случайном порядке. Значит, вклад последующих вычислений можно определить, применив индукцию по N.

Пусть s—значение первого ключа K1, и предположим, что ровно t из ключей K1, : : : , Ks превос-