Дональд Кнут. Искусство программирования. т.3 / knuth3

32 Original pages: 046-060

Поэтому для практических целей удобно рассмотреть отрезки случайной бесконечной последовательности различных чисел

a1; a2; a3; : : :;

под ”случайностью” последовательности мы здесь подразумеваем то, что все n! возможных взаимных расположении первых n элементов последовательности равновероятны. Так что средняя длина первого отрезка случайной бесконечной последовательности равна e − 1.

Несколько усовершенствовав этот метод, можно установить среднюю длину k-го отрезка случайной последовательности. Пусть qkm—вероятность того, что общая длина первых k отрезков m; тогда qkm равно величине 1=m!, умноженной на число перестановок множества f1; 2; : : :; m g, содержащих

Вероятность того, что общая длина первых k отрезков равна m, есть qkm − qk(m+1). Следовательно, обозначив через Lk среднюю длину k-го отрезка, находим, что

L1 + + Lk = (средняя общая длина первых k отрезков) =

=(qk1 − qk2) = 2(qk2 − qk3) + 3(qk3 − qk4) + =

=qk1 + qk2 + qk3 + :

Эту формулу для Lk впервые получила Б. Дж. Гэсснер [CACM, 10 (1967), 89–93]. Имеем, в частности,

Итак, следует ожидать, что второй отрезок будет длиннее первого, а третий отрезок будет в среднем еще длиннее! На первый взгляд это может показаться странным, но после минутного размышления становится ясно, что, поскольку первый элемент второго отрезка будет скорее всего малым числом (именно это служит причиной окончания первого отрезка), у второго отрезка больше шансов оказаться длиннее, чем у первого. Тенденция такова, что первый элемент третьего отрезка будет даже меньше, чем первый элемент второго отрезка.

Числа Lk важны в теории сортировки посредством выбора с замещением (п. 5.4.1), поэтому интересно подробно изучить их значения. В табл. 2, вычисленной Дж. У. Ренчем (мл.), приведены

Original pages: 046-060 33

первые 18 значений Lk с точностью до 15 десятичных знаков. Рассуждения, приведенные в предыдущем абзаце, могут вызвать подозрение, что Lk+1 > Lk; на самом же деле значения колеблются, то возрастая, то убывая. Заметим, что Lk быстро приближаются к предельному значению 2; весьма примечательно то, что эти нормированные полиномы от трансцендентного числа e так быстро сходятся к рациональному числу 2! Полиномы (26) представляют некоторый интерес и с точки зрения численного анализа, будучи прекрасным примером потери значащих цифр при вычитании почти равных чисел; используя 19-значную арифметику с плавающей точкой, Гэсснер пришла к неверному заключению о том, что L12 > 2, а Ренч отметил, что 42-значная арифметика с плавающей точкой дает L28 лишь с точностью до 29 значащих цифр.

Асимптотическое поведение Lk можно определить, исходя из простых положений теории функ-

На рис. 3, где нанесены оба графика этих уравнений, видно, что они пересекаются в точках z = z0, z1, z1, z2, z2, : : : ; здесь z0 = 1,

Original pages: 061-092 35

случаях, a ai > ai+1 ровно в

случаях. Суммируя по i и прибавляя N, потому что в каждой перестановке один отрезок кончается элементом an, получим общее число отрезков во всех N перестановках:

Поделив на N, получим искомое среднее число отрезков.

Так как отрезки важны при изучении ”порядковых статистик”, имеется весьма обширная литература, посвященная им, в том числе и некоторым другим типам отрезков, не рассмотренным здесь. Дополнительную информацию можно найти в книге Ф. Н. Дэвид и Д. Э. Бартона Combinatorial Chance (London: Griffin, 1962), гл. 10, и в обзорной статье Д. Э. Бартона и К. Л. Мэллоуза [Annals of Math. Statistics, 36 (1965), 236–260]. Дальнейшие связи между числами Эйлера и перестановками рассматриваются в работе Д. Фоаты и М. П. Шюценберже Theorie Geometrique des Polynomes^ Euleriens (Lecture Notes in Math., 138 (Berlin: Springer, 1970), 94 стр.).

7.[ВМ40] Является ли распределение вероятностей для отрезков, задаваемое формулой (14), асимптотически нормальным? (Ср. с упр. 1.2.10-13.)

8.[М24] (П. А. Мак-Магон ) Покажите, что вероятность того, что длина первого отрезка достаточно длинной перестановки есть l1, длина второго есть l2, : : : , а длина k-го отрезка lk, равна

36Original pages: 061-092

10. [BM30] Определите асимптотическое поведение среднего значения и дисперсии распределения

где n = n1 + n2 + + nm.

13.[05] Каким будет среднее число стопок в пасьянсе Ньюкомба, если пользоваться обычной колодой для бриджа (из 52 карт), игнорируя старшинство карт, но считая, что

|< } < ~ < ♠?

14.[M17] Перестановка 3 1 1 1 2 3 1 4 2 3 342 24 4 содержит 5 отрезков; найдите с помощью приведенного в тексте построения для условия симметрии Мак-Магона соответствующую перестановку с 9-ю отрезками.

>15. [М21] (Перемежающиеся отрезки.) В классической литературе 19-го века по комбинаторному анализу не изучался вопрос об отрезках в перестановках, которые рассматриваем мы, но было несколько статей, посвященных попеременно возрастающим и убывающим ”отрезкам”. Так, считалось, что перестановка 5 3 2 4 7 6 1 8содержит 4 отрезка

5 3 2; 2 4 7; 7 6 1; 1 8:

(Первый отрезок будет возрастающим или убывающим в зависимости от того, a1 < a2 или a1 > a2; таким образом, перестановки a1 a2 : : : an, an : : : a2 a1 и (n + 1 − a1)(n + 1 − a2): : : (n + 1 − an) все содержат одинаковое число перемежающихся отрезков.) Максимальное число отрезков этого типа в перестановке n элементов равно n − 1.

Найдите среднее число перемежающихся отрезков в случайной перестановке множества f1; 2; : : :; n g.

жающихся отрезков в случайной перестановке множества f1; 2; : : :; n g.

17.[M25] Существует всего 2n последовательностей a1 a2 an, где каждый элемент aj—либо 0, либо 1. Сколько среди них последовательностей, содержащих ровно k отрезков (т. е. содержащих ровно k − 1 элементов aj, таких, что aj > aj+1)?

18.[M27] Существует всего n! последовательностей a1 a2 : : : an, где каждый элемент aj—целое число, лежащее в диапазоне 0 aj n − j; сколько среди них последовательностей, содержащих ровно

k отрезков (т. е. содержащих ровно k − 1 элементов aj, таких, что aj > aj+1)?

>19. [M26] (Дж. Риордан.) (а) Сколькими способами можно расположить n неатакующих ладей (т.е. никакие две не должны находиться на одной вертикали

Picture: Рис. 4. Неатакующие ладьи на шахматной доске при заданном числе ладей ниже главной диагонали.

или горизонтали) на шахматной доске размера n n так, чтобы ровно k из них находились на заданной стороне от главной диагонали? (b) Сколькими способами можно расположить k неатакующих ладей на заданной стороне от главной диагонали шахматной доски размера n n?

Например, на рис. 4 показан один из 15619 способов расположить восемь неатакующих ладей на обычной шахматной доске с тремя ладьями на незаштрихованном участке ниже главной диагонали, а также один из 1050 способов расположить три неатакующие ладьи на треугольной доске.

>20. [М21] Говорят, что перестановка требует k чтений, если ее нужно просмотреть k раз, слева направо, чтобы прочитать все элементы в неубывающем порядке. Например, перестановка

4 9 1 8 2 5 3 6 7

Original pages: 061-092 37

требует четырех чтений: при первом чтении получаем 1; 2; 3; при втором—4; 5; 6; 7; затем 8; затем 9. Найдите связь между отрезками и чтениями.

21.[M22] Если перестановка a1 a2 : : : an множества f1; 2; : : : ; n g содержит k отрезков и требует j чтений в смысле упр. 20, то что можно сказать о перестановке an : : : a2 a1?

22.[M26] (Л. Карлиц, Д. П. Розель и Р. А. Скоувилл.) Покажите, что не существует перестановки множества f1; 2; : : :; n g с n + 1 − r отрезками, требующей s чтений, если rs < n, однако такая перестановка существует, если n n + 1 − r s 1, rs n.

23.[BM42] (Вальтер Вейссблюм.) ”Удлиненные отрезки” перестановки a1 a2 : : : an получаются, если вставлять вертикальные черточки в тех местах, где нарушается установившаяся монотонность; удлиненные отрезки бывают как возрастающими, так и убывающими в зависимости от того, в каком порядке расположены первые два элемента, так что длина каждого удлиненного отрезка (кроме, возможно, последнего) 2. Например, перестановка 7 5j6 2j3 8 9j1 4 содержит четыре удлиненных отрезка. Найдите средние длины первых двух удлиненных отрезков бесконечной перестановки и докажите, что в пределе длина удлиненного отрезка равна

24.[M30] Выразите в виде функции от p среднее число отрезков в последовательностях, полученных методом, который описан в упр. 5.1.1-18.

5.1.4.*Табло и инволюции

Взаключение нашего обзора комбинаторных свойств перестановок обсудим некоторые замечательные отношения, связывающие перестановки с массивами целых чисел, называемыми табло.

Табло Янга формы (n1; n2; : : : ; nm), где n1 n2 : : : nm 0, это расположение n1 +n2 + +nm различных целых чисел в массив строк, выровненных по левому краю, где в i-й строке содержится ni элементов; при этом в каждой строке элементы возрастают слева направо, а элементы каждого столбца возрастают сверху вниз. Например,

—табло Янга формы (6; 4; 4; 1). Такие расположения ввел Альфред Янг в 1900 г. в качестве вспомогательного средства при изучении матричного представления перестановок. [См., например, D. Е. Rutherford, Substitutional Analysis (New York: Hafiier, 1968)]. Для краткости мы будем вместо ”табло Янга” говорить просто ”табло”.

Инволюция—это перестановка, обратная самой себе. Например, существует 10 инволюций мно-

Термин ”инволюция” первоначально использовался в классических задачах геометрии; инволюции в общем смысле, рассматриваемые здесь, были впервые изучены X. А. Роте, когда он ввел понятие обратной перестановки (см. п. 5.1.1).

Может показаться странным, что мы рассматриваем табло и инволюции вместе, но существует удивительная связь между этими понятиями, не имеющими, казалось бы, друг к другу никакого отношения: число инволюций множества f1; 2; : : :; n g равно числу табло, которые можно сформировать из элементов f1; 2; : : :; n g. Например, из f1; 2; 3; 4 g можно сформировать ровно 10 табло

38Original pages: 061-092

что соответствует 10 инволюциям (2).

Эта связь между инволюциями и табло отнюдь не очевидна, и, по-видимому, не существует простого способа ее доказать. Доказательство, которое мы обсудим, включает интересный алгоритм построения табло, обладающий и некоторыми другими неожиданными свойствами; он основан на особой процедуре вставки в табло новых элементов.

Предположим, например, что нужно вставить элемент 8 в табло

Метод, которым мы будем пользоваться, состоит в том, чтобы сначала поместить 8 в 1-ю строку, в клетку, ранее занимаемую 9, поскольку 9—наименьший из элементов этой строки, больших 8. Элемент 9 ”вытесняется” вниз, в строку 2, где он замещает 10. Затем 10 ”вытесняет” 13 из 3-й строки в 4-ю и, поскольку в 4-й строке нет элемента больше 13, процесс завершается добавлением 13 в правый конец строки 4. Наше табло преобразовалось в

Точное описание этого процесса с доказательством того, что он всегда сохраняет свойства табло, содержится в алгоритме I.

Алгоритм I. (Вставка в табло.) Пусть P = (Pij)—табло целых положительных чисел, а x—целое положительное число, не содержащееся в P. Этот алгоритм преобразует P в другое табло, содержащее x наряду с исходными элементами P. Новое табло имеет ту же форму, что и старое, с той лишь разницей, что на пересечении строки s и столбца t появился новый элемент, где s и t—величины, определяемые алгоритмом.

(В этом алгоритме замечания в круглых скобках предназначены для доказательства его правильности, поскольку по индукции легко проверить, что эти замечания справедливы и что массив P продолжает оставаться табло на протяжении всего процесса. Для удобства будем предполагать, что табло ограничено нулями сверху и слева и символами 1справа и снизу, так что элемент Pij определен при всех i, j 0. Если ввести отношение

Original pages: 061-092 39

Заметим, что этот алгоритм определяет ”последовательность вытеснений”

а также вспомогательную последовательность индексов столбцов

при этом элемент Piri меняет свое значение с xi+1 на xi, 1 i s. Например, когда в табло (4) вставлялся элемент 8, последовательностью вытеснений была 8, 9, 10, 13, 1, а вспомогательной последовательностью—4, 3, 2, 2. Мы могли бы переформулировать алгоритм так, чтобы он расходовал меньше временной памяти (необходимо хранить только текущие значения j, xi, xi+1); последовательности (9) и (10) были введены с той лишь целью, чтобы можно было доказать некоторые интересные факты, касающиеся этого алгоритма.

Основное свойство алгоритма I, которым мы не преминем воспользоваться, состоит в том, что алгоритм можно ”прокрутить” в обратном направлении: по заданным s и t, определенным в шаге I5, можно преобразовать P к исходному виду, найдя и удалив элемент x, который был вставлен. Рассмотрим, например, (5), и пусть нам известно, что элемент 13 занимает позицию, которая раньше была пуста. Тогда элемент 13, должно быть, был вытеснен вниз из 3-й строки числом 10, потому что 10—наибольший элемент в этой строке, меньший 13; аналогично, элемент 10, по-видимому, был вытеснен из 2-й строки числом 9, которое в свою очередь было вытеснено из 1-й строки числом 8. Таким образом, от (5) можно вернуться обратно к (4). В следующем алгоритме подробно описан этот процесс.

Алгоритм D. (Удаление из табло.) По заданному табло P и целым положительным числам s и t, удовлетворяющим условиям (8), этот алгоритм преобразует P в другое табло почти такой же формы, но с 1на пересечении столбца tи строки s. Определенный алгоритмом элемент xудаляется из табло P.

(Как и в алгоритме I, пояснения в круглых скобках включены для облегчения доказательства