Методические указания по решению задачи о распределении судебных дел

Большинство людей судят о математике как о науке точной, позволяющей решать задачи о движениях небесных тел и железнодорожных составов, об объемах сложных геометрических фигур, о мощности энергетических установок электростанций и т.п. Это мнение складывается у них по воспоминаниям о задачах, которые решались ими в школе, которые начинались фразами типа: «из пункта А в пункт В выезжает поезд…», или «в равнобедренный треугольник вписан круг…».

Однако, современная математика позволяет решать задачи, связанные с субъективным восприятием, неоднозначной оценкой обстановки человеком и принятием решений в нечётких условиях. Ведь большинство категорий, которыми оперируют люди в реальной жизни, не измеряются четко. Они звучат как «ближе - дальше», «быстрее - медленнее», «нравится - не нравится».

Именно такая задача предлагается Вам далее для самостоятельного решения. Чтобы успешно справиться с ней, ознакомьтесь с несколькими определениями из теории множеств и линейной алгебры.

Функция принадлежности (элементов множеству)

Пусть есть множество, - подмножество .

Тот факт, что элемент из множества есть элемент подмножества (т.е. принадлежит ), обычно обозначают с помощью символа :

Для выражения этой принадлежности можно использовать характеристическую функцию , значения которой указывают, является ли элементом :

В реальном мире встречаются множества, принадлежность к которым тех или иных элементов затруднительно однозначно установить. Можем ли мы однозначно ответить, например, на вопрос, являются ли Джордано Бруно, Салават Юлаев или Билл Клинтон преступниками (т.е. принадлежат ли они множеству преступников)? Или на вопрос, принадлежит ли житель Тайваня множеству китайцев, а жители Турции или, к примеру, Грузии – множеству европейцев?

Для решения подобных вопросов мы можем рассмотреть характеристическую функцию , значения которой указывают, в какой степени элемент из множества принадлежит или не принадлежит множеству .

В соответствии с этим подходом, элемент множества может не принадлежать ( ), может быть элементом в небольшой степени ( близко к ), может более или менее принадлежать ( не близко ни к , ни к ), может в значительной степени быть элементом ( близко к ), и, наконец, может принадлежать ( ).

Множество, принадлежность к которому задается функцией такого типа, называется нечётким множеством (принадлежность нечёткому множеству обозначается так: ).