- •Глобальный и условный экстремумы
- •Множители Лагранжа.
- •Задача о потребительском выборе.
- •Выпуклые множества, выпуклые и вогнутые функции. Теорема Куна-Таккера.
- •Динамическое программирование. Общая постановка задачи.
- •Функции Беллмана. Уравнения Беллмана. Условно-оптимальные управления.
- •Условная оптимизация.
- •Безусловная оптимизация.
- •Принцип Беллмана для оптимальных путей.
- •I этап. Условная оптимизация.
- •II этап. Безусловная оптимизация.
- •Оптимальное распределение инвестиций как задача динамического программирования.
- •Теория игр. Игровые модели.
- •Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры. Принцип минимакса.
- •Чистые стратегии. Седловая точка.
- •Решение игр в смешанных стратегиях.
- •Приведение матричной игры к задаче линейного программирования.
- •Биматричные игры. Равновесие Нэша. Оптимальность Парето.
- •Выигрыш 1 продавца.
- •60. Игра двух лиц, в которой одним из игроков является "природа"
Выпуклые множества, выпуклые и вогнутые функции. Теорема Куна-Таккера.
Определение: Функция , заданная на выпуклом множестве , называется выпуклой, если для любых двух точек и из и любого выполняется соотношение
(49.1)
Определение: Функция , заданная на выпуклом множестве , называется вогнутой, если для любых двух точек и из и любого выполняется соотношение
(49.2)
Если неравенства (49.1) и (49.2) считать строгими и они выполняются при , то функция является строго выпуклой (строго вогнутой). Выпуклость и вогнутость функций определяется только относительно выпуклых множеств.
Если , где , - выпуклые (вогнутые) функции на некотором выпуклом множестве , то функция - также выпуклая (вогнутая) на .
Основные свойства выпуклых и вогнутых функций:
1. Множество точек минимума выпуклой функции, заданной на выпуклом множестве, выпукло.
2. Пусть - выпуклая функция, заданная на замкнутом выпуклом множестве . Тогда локальный минимум на является и глобальным.
3. Если глобальный минимум достигается в двух различных точках, то он достигается и в любой точке отрезка, соединяющего данные точки.
4. Если - строго выпуклая функция, то ее глобальный минимум на выпуклом множестве достигается в единственной точке.
5. Пусть функция - выпуклая функция, заданная на выпуклом множестве , и, кроме того, она непрерывна вместе со своими частными производными первого порядка во всех внутренних точках . Пусть - точка, в которой . Тогда в точке достигается локальный минимум, совпадающий с глобальным минимумом.
6. Множество точек глобальных (следовательно, и локальных) минимумов выпуклой функции , заданной на ограниченном замкнутом выпуклом множестве , включает хотя бы одну крайнюю точку; если множество локальных минимумов включает в себя хотя бы одну внутреннюю точку множества , то является функцией-константой.
Рассмотрим задачу нелинейного программирования:
(49.3)
при ограничениях
, (49.4)
(49.5)
Для решения сформулированной задачи в такой общей постановке не существует универсальных методов. Однако для отдельных классов задач, в которых сделаны дополнительные ограничения относительно свойств функций и , разработаны эффективные методы их решения.
Говорят, что множество допустимых решений задачи (49.3) - (49.5) удовлетворяет условию регулярности, или условию Слейтера, если существует, по крайней мере, одна точка , принадлежащая области допустимых решений такая, что .
Задача (49.3) - (49.5) называется задачей выпуклого программирования, если функция является вогнутой (выпуклой), а функции - выпуклыми.
Функцией Лагранжа задачи выпуклого программирования (49.3) - (49.5) называется функция:
, (49.6)
где - множители Лагранжа.
Точка называется седловой точкой функции Лагранжа, если
(49.7)
для всех и .
Теорема (Куна - Таккера): Для задачи выпуклого программирования (49.3) - (49.5), множество допустимых решений которой обладает свойством регулярности, является оптимальным решением тогда и только тогда, когда существует такой вектор , , что - седловая точка функции Лагранжа.
На доп. вопрос: Что есть свойство регулярности?