46. Глобальный и условный экстремумы

Как правило, в практических задачах необходимо определить наибольшее и наименьшее значения функции (глобальный экстремум) в некоторой области.

Говорят, что функция имеет в точке заданной области глобальный максимум (наибольшее значение) или глобальный минимум (наименьшее значение), если неравенство или, соответственно, выполняется для любой точки .

Теорема (Вейерштрасса): если область замкнута и ограничена, то дифференцируемая функция достигает в этой области своих наибольшего и наименьшего значений или в стационарной точке, или в граничной точке области.

Чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции в ограниченной замкнутой области , где она непрерывна, можно руководствоваться следующим:

1. Найти стационарные точки, лежащие внутри области , и вычислить значения функции в этих точках (не вдаваясь в исследование, будет ли в них экстремум функции и какого вида).

2. Найти наибольшее (наименьшее) значение функции на границе области .

3. Сравнить полученные значения функции: самое большое (меньшее) из них будет наибольшим (наименьшим) значением функции во всей области .

Замечание. Если граница области определения функции состоит из нескольких частей, например, треугольник или прямоугольник, то находят наибольшее и наименьшее значения функции на каждой части, а затем сравнивают.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике, ограниченном прямыми , , .

Решение. 1. Найдем критические точки функции.

; .

Найденная критическая точка не принадлежит области.

2. Исследуем границу области.

На участке AB: y=1, . Функция имеет вид _, то есть ; при всех функция монотонно возрастает на этом участке, поэтому , .

На участке BC: , Функция имеет вид , то есть , при – критическая точка на участке BC. ; .

На участке AC: x+y=1, или . Функция имеет вид , то есть ; ; при –критическая точка на участке AC. .

3. Выберем наибольшее и наименьшее из найденных значений: Получим где , .

Граница области аналитически может быть задана системой уравнений (условий) относительно переменных . Поэтому, исследуя экстремальные свойства функции на границе, необходимо решить задачу определения условного экстремума.

Условный экстремум. Пусть необходимо найти экстремум функции при условии, что переменные удовлетворяют, уравнениям

, (46.1)

Предполагается, что функции и   имеют непрерывные частные производные по всем переменным. Уравнения (46.1) называют уравнениями связи. Говорят, что в точке удовлетворяющей уравнениям связи, функция имеет условный максимум (минимум), если неравенство ( ) имеет место для всех точек , координаты которых удовлетворяют уравнениям связи.

Легко заметить, что задача определения условного экстремума совпадает с задачей нелинейного программирования.

 Условными экстремумами именуются условные максимум и минимум.

 В случае функции двух переменных задача о нахождении точек условного экстремума решается двумя способами.

 Если представляется возможным, то из уравнения связи в результате функция преобразуется в функцию одной переменной , что даёт возможность решения задачи известными методами.

Пример: исследовать на экстремум функцию при условии ( ).

Решение: Из уравнения связи найдем, например, :

и подставим в нашу функцию:

Упростив это выражение, получим: .

При этом . Найдем глобальный экстремум функции на отрезке .

Производная этой функции равна:

Приравняем производную к нулю:

Стационарные точки: , и .

Найдем значения функции в стационарных точках, так как они все принадлежат рассматриваемой области: , .

Следовательно, (ед.)

В противном случае при нахождении точек экстремума используется метод множителей Лагранжа.