- •Задача линейного программирования в общем виде.
- •Виды злп и способы перехода от одного вида к другому.
- •Основные теоремы линейного программирования.
- •Симплекс-метод.
- •Задача об использовании сырья
- •Метод искусственного базиса.
- •Алгоритм метода искусственного базиса.
- •Двойственность задач линейного программирования. Таблица соответствий.
- •Теоремы двойственности.
- •Критерии оптимальности.
- •Транспортная задача. Закрытая и открытая модели.
- •Теорема о существовании оптимального решения.
- •Целочисленные злп, графический метод решения в случае двух переменных.
- •Задачи о назначениях и о коммивояжере как частные случаи целочисленных злп.
- •Метод ветвей и границ.
- •Алгоритм метода ветвей и границ:
- •Стандартная задача нелинейного программирования.
- •Локальный экстремум. Необходимое и достаточное условия.
Виды злп и способы перехода от одного вида к другому.
Одна и та же ЗЛП может быть сформулирована в различных эквивалентных формах. Наиболее важными формами задачи линейного программирования являются каноническая и стандартная.
В канонической форме задача является задачей на максимум (минимум) некоторой линейной функции F, ее система ограничений состоит только из равенств (уравнений). При этом переменные задачи х1, х2, ..., хn являются неотрицательными:
К канонической форме можно преобразовать любую задачу линейного программирования.
Правило приведения ЗЛП к каноническому виду:
1. Если в исходной задаче некоторое ограничение (например, первое) было неравенством, то оно преобразуется в равенство, введением в левую часть некоторой неотрицательной переменной, при чем в неравенства «≤» вводится дополнительная неотрицательная переменная со знаком «+»; в случаи неравенства «≥» - со знаком «-»
(32.1)
Вводим переменную
Тогда неравенство (32.1) запишется в виде:
В каждое из неравенств вводится своя “уравнивающая” переменная, после чего система ограничений становится системой уравнений.
Число вводимых дополнительных неотрицательных переменных при преобразовании ограничений-неравенств в ограничения-равенства равно числу преобразуемых неравенств.
Вводимые дополнительные переменные имеют вполне определенный экономический смысл. Так, если в ограничениях исходной задачи линейного программирования отражаются расход и наличие производственных ресурсов, то числовое значение дополнительной переменной в плане задачи, записанной в основной форме, равно объему неиспользуемого соответствующего ресурса.
2. Если в исходной задаче некоторая переменная не подчинена условию неотрицательности, то ее заменяют (в целевой функции и во всех ограничениях) разностью неотрицательных переменных
3. Если в ограничениях правая часть отрицательна, то следует умножить это ограничение на (-1)
4. Наконец, если исходная задача была задачей на минимум, то введением новой целевой функции F1 = -F мы преобразуем нашу задачу на минимум функции F в задачу на максимум функции F1.
Таким образом, всякую задачу линейного программирования можно сформулировать в канонической форме.
В стандартной форме задача линейного программирования является задачей на максимум (минимум) линейной целевой функции. Система ограничений ее состоит из одних линейных неравенств типа « <= » (« >= »). Все переменные задачи неотрицательны.
Всякую задачу линейного программирования можно сформулировать в стандартной форме. Приведение к стандартной форме необходимо, так как большинство методов решения задач линейного программирования разработано именно для стандартной формы.
Для приведения к стандартной форме задачи линейного программирования может потребоваться выполнить следующие действия:
- перейти от минимизации целевой функции к ее максимизации;
- изменить знаки правых частей ограничений;
- перейти от ограничений-равенств к неравенствам;
- избавиться от переменных, не имеющих ограничений на знак..
Примеры:
1. Привести к каноническому виду задачу
Введем дополнительные переменные x3 , x4 , x5 . Причем в первое неравенство введем неотрицательную переменную x3 со знаком минус, а во второе и в третье – со знаком плюс переменные x4 , x5 запишем задачу в виде:
что и дает эквивалентную задачу в канонической форме.
2. Привести к стандартному виду задачу
Выразим через и остальные переменные:
Целевая функция будет выглядеть следующим образом:
Или, после упрощения:
Так как , то перепишем нашу систему следующим образом: .
Итак, эквивалентная задача в стандартной форме будет выглядеть следующим образом: