- •Матрицы. Определители. Основные понятия.
- •Обратная матрица. Ранг матрицы.
- •Алгоритм нахождения ранга матрицы.
- •Системы линейных уравнений. Системы линейных неравенств.
- •Векторы. N – мерное линейное векторное пространство.
- •Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов.
- •Линейные операторы и матрицы. Собственные векторы линейных операторов.
- •Квадратичные формы.
- •Кривые второго порядка на плоскости (окружность, эллипс, гипербола, парабола).
- •Пусть и - фокусы эллипса. Начало системы координат расположим на середине отрезка . Ось направим вдоль этого отрезка, ось - перпендикулярно к этому отрезку (рис. 8.2).
- •Комплексные числа. Алгебраическая форма записи.
- •Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи.
- •Многочлены и действия над ними.
- •Функции. Графики основных элементарных функций.
- •Способы задания функции.
- •Графики элементарных функций.
- •Линейная функция.
- •Квадратичная функция
- •Гипербола
- •Степенная функция с натуральным показателнм.
- •Функция .
- •Показательная функция
- •Логарифмическая функция
- •Предел функции.
- •Непрерывность в точке. Виды разрывов.
- •Производная, ее геометрический и физический смысл.
- •Дифференциал, его геометрический и механический смысл.
- •Теоремы о дифференцируемых функциях и их применение.
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
- •Первообразная функции. Неопределенный интеграл.
- •Понятие определенного интеграла. Геометрический смысл.
- •Комбинаторика. Понятие множества. Перестановки. Размещения. Сочетания.
- •Формула включений-исключений и ее применения к комбинаторике и теории чисел. Бином Ньютона.
- •Рекуррентные уравнения.
- •Производящие функции.
- •Булевые функции и их представление. Двоичная запись целых чисел.
- •Описание логической функции одной и двух двоичных переменных.
- •Алгоритм перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную.
- •Перевод чисел из двоичной системы в десятичную.
- •Теория графов. Основные понятия теории графов.
- •Сущность и условия применимости теории вероятностей. Вероятностное пространство.
- •Действия со случайными событиями.
- •Вероятность события. Аксиоматическое определение вероятности.
- •Вероятность события. Классическое определение вероятности.
- •Случайные величины и способы их описания.
- •Модели законов распределения вероятностей, наиболее употребляемые в социально-экономических приложениях.
- •Цепи Маркова и их использование в моделировании социально-экономических процессов.
Квадратичная функция
Квадратичной называется функция вида , где , – любые действительные числа.
График функции при называется параболой.
Свойства квадратичной функции:
1). Область определения функции: .
2). Область значений: .
3). Координаты вершины параболы : , .
4). Если , то ветви параболы направлены вниз. Если – вверх.
5). Прямая является осью симметрии графика квадратичной функции.
Пример квадратичной функции :
Гипербола
Функция вида , где , ( - коэффициент обратной пропорциональности) называется функцией обратной пропорциональности.
График функции , называется гиперболой.
Свойства функции обратной пропорциональности:
1). Область определения функции: .
2). Область значений: .
3). Функция нечетна.
4). Функция не пересекает координатные оси.
5). При , при
6). Функция убывает на промежутках и .
7). Прямые и являются асимптотами (при и соответственно).
Степенная функция с натуральным показателнм.
Степенной функцией с натуральным показателем называется функция .
При получаем прямую пропорциональность: ; при – квадратную параболу; при – обратную пропорциональность или гиперболу.
Свойства степенной функции:
1). Область определения функции:
2). Для любых график функции проходит через точку .
3). Для любых график функции проходит через точку .
Степенные функции имеют смысл и при , но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли чётным числом или нечётным.
|
|
Функция четная:
|
Функция нечетная:
|
|
|
При |
При ; при |
Функция возрастает на Функция убывает на |
Функция возрастает на
|
График функции аналогичен графику функции (парабола) |
График функции аналогичен графику функции (кубическая парабола) |
Пример степенных функций и :
Функция .
Свойства функции корня:
При четном функция обладает теми же свойствами, что и функция :
1). Область определения: луч . Это следует из, того что выражение определено лишь при .
2). Функция ни четна, ни нечетна
3). Функция возрастает на луче .
4). График функции напоминает график функции :
При нечетном функция обладает теми же свойствами, что и функция :
1). Область определения функции – вся числовая прямая.
2). Функция нечетна.
3). Функция возрастает на всей числовой прямой.
4). График функции напоминает график функции :
Показательная функция
Функция вида , при называется показательной функцией с основанием .
Свойства показательной функции:
1). Область определения функции:
2). Область значений: .
3). Если , то и если , то .
4). При функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой.
При функция строго монотонно убывает на всей числовой прямой.
Примеры показательных функций и :