4. Векторы. N – мерное линейное векторное пространство.

Определение. Вектор - это направленный отрезок, у которого выделен один конец, называемый концом вектора. Другой конец отрезка называется началом вектора.

Обозначение: , .

Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

.

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

Определение. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

Суммой векторов является вектор

Произведение , при этом коллинеарен .

Вектор сонаправлен с вектором (  ), если  > 0.

Вектор противоположно направлен с вектором (  ), если  < 0.

Определение. Тройка некомпланарных векторов a, b, c называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, c в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. B противном случае a, b, c - левая тройка.

Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Определение. Тройка e_1, e₂, e₃ некомпланарных векторов в R³ называется базисом, а сами векторы e_1, e₂, e₃ - базисными. Любой вектор a может быть единственным образом разложен по базисным векторам, то есть представлен в виде

а = x₁ e₁ + x₂ e₂ + x₃ e_3, (4.1)

числа x₁, x₂, x₃ в разложении (4.1) называются координатами вектора a в базисе e_1, e₂, e₃ и обозначаются a(x₁, x₂, x₃). Если векторы e_1, e₂, e₃ попарно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонормированным, а координаты x₁, x₂, x₃ - прямоугольными. Базисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать i, j, k.

Будем предполагать, что в пространстве R³ выбрана правая система декартовых прямоугольных координат {0, i, j, k}.

Определение. Упорядоченную совокупность ( x₁, x₂, ... , x _n ) n вещественных чисел называют n-мерным вектором, а числа x_i ( i = ) - компонентами, или координатами, вектора.

Компоненты вектора нельзя менять местами, например, (3, 2, 5, 0, 1)   (2, 3, 5, 0, 1).

Определение. N-мерное векторное пространство Rⁿ - множество всех n-мерных векторов, для которых определены операции умножения на действительные числа и сложение.

Определение. Система e₁, e₂, ... , e_m n-мерных векторов называется линейно зависимой, если найдутся такие числа ₁, ₂, ... , _m, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство ₁ e₁ + ₂ e₂ +... + _m e_m = 0; в противном случае данная система векторов называется линейно независимой, то есть указанное равенство возможно лишь в случае, когда все ₁=₂=...= _m = 0.

Геометрический смысл линейной зависимости векторов в R³, интерпретируемых как направленные отрезки, поясняют следующие теоремы.

Теорема 4.1. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

Теорема 4.2. Для того, чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Теорема 4.3. Для того, чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.