Действия со случайными событиями.
Суммой событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих одному из событий A или B. Обозначается A + B.
Пример 27.7. Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий W = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6}, где элементарное событие w i- выпадение i очков. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w 2,w 4,w 6}, событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {w 5, w 6}.
Событие A + B = {w 2,w 4, w 5, w 6} состоит в том, что выпало либо четное число очков, либо число очков большее четырех, т.е. произошло либо событие A, либо событие B. Очевидно, что A + B W.
Произведением событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих одновременно событиям A и B. Обозначается AB.
Пример 27.8. Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий W = {w 1, w 2, w 3,w 4, w 5,w 6}, где элементарное событие w i- выпадение i очков. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w 2,w 4,w 6}, событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {w 5, w 6}.
Событие A B состоит в том, что выпало четное число очков, большее четырех, т.е. произошли оба события, и событие A и событие B, A B = {w 6} A B W .
Разностью событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий принадлежащих A, но не принадлежащих B. Обозначается A\B.
Пример 27.9. Бросаем один раз игральную кость. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w 2,w 4,w 6}, событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {w 5, w 6}. Событие A\ B = {w 2,w 4} состоит в том, что выпало четное число очков, не превышающее четырех, т.е. произошло событие A и не произошло событие B, A\B W .
Очевидно, что
A
+ A = A, AA = A,
.
Определения суммы и произведения событий переносятся на бесконечные последовательности событий:
,
событие, состоящее из элементарных
событий, каждое из которых принадлежит
хотя бы одному из
;
,
событие, состоящее из элементарных
событий, каждое из которых принадлежит
одновременно всем
.
Вероятность события. Аксиоматическое определение вероятности.
Пусть
W - произвольное пространство элементарных
событий, а
-
такая
совокупность
случайных событий, для которой справедливо:
W
,
AB
,
A+B
и
A\B
,
если A
и
B
.
Числовая функция P, определенная на совокупности событий , называется вероятностью, если:
P(A)
0
для любого A
из
;
P(W ) = 1;
если A и B несовместны, то P(A+B) = P(A) + P(B);
для любой убывающей последовательности событий {Ai}из ,
,
такой, что
,
имеет место равенство
.
Тройку
называют
вероятностным
пространством.
Вероятность события. Классическое определение вероятности.
Пусть
W= {w 1,
w 2,
…, w s}
- произвольное конечное пространство
элементарных событий, A - событие,
состоящее из k
элементарных событий: A={w i1,
w i2,
…, w ik},
1
i1
i2
…
i
k
s,
k
=
1, 2,…, s,
и пусть
.
Определенная
таким образом функция P(A)
удовлетворяет всем аксиомам 1-4(здесь
множество
состоит
из всех подмножеств множества W :
).
Таково классическое
определение вероятности
события A.
Принята следующая формулировка классического определения вероятности: вероятностью события A называется отношение числа исходов, благоприятствующих A, к общему числу исходов.
Из
приведенных определений следует: P(
)=0,
,
.
Для
любых двух событий A
и
B
справедливо:
.
Если
события A
и
B
несовместны,
то
.
Условная вероятность P(A/B) события A при условии, что событие B произошло, P(B) > 0, определяется формулой
.
Для
любых двух событий A
и
B
справедливо:
.
События
A
и
B
называются
независимыми,
если
.
Для
любых двух независимых,
событий A
и
B
справедливо:
.