Производящие функции.
Пусть
- числовая последовательность,
Определение.
,
где числа
называются коэффициентами,
а символ
называется переменной,
называется
формальным
степенным рядом.
Обозначение:
(24.1)
Любой многочлен можно считать записью формального степенного ряда, в котором все коэффициенты, начиная с какого-то номера, равны нулю.
Определение.
Формальный степенной ряд
называется производящей
функцией
последовательности
.
Название формальный ряд для данной последовательности означает, что (24.1) мы трактуем только как удобную запись нашей последовательности - в данном случае несущественно, для каких (действительных или комплексных) значений переменной он сходится. Поэтому мы никогда не будем вычислять значение такого ряда для конкретного значения переменной , мы будем только выполнять некоторые операции на таких рядах, а затем определять коэффициенты при отдельных степенях переменной .
Для
произвольных рядов
,
мы определим операцию сложения:
(24.2)
операцию умножения на число с (действительное или комплексное):
(24.3)
и произведение
(24.4)
где
(24.5)
Из математического анализа известно, что если ряд (24.1) сходится в некоторой окрестности нуля, то его сумма является аналитической функцией в этой окрестности и
(24.6)
обозначает значение
n-ой
производной функции
для
.
Ряд
(24.1) не что иное, как знакомый из курса
математического анализа ряд
Маклорена функции
.
Более
того, когда
,
являются
аналитическими функциями в окрестности
нуля, то формулы (24.2)-(24.4) будут справедливы,
если
,
трактовать
как значения функций
в
точке
,
а ряды понимать в обычном смысле, т.е.
так, как в математическом анализе. Это
сохраняющее операции взаимно однозначное
соответствие между рядами, сходящимися
в окрестности нуля, и функциями,
аналитическими в окрестности нуля,
позволяет отождествить формальный ряд
(24.1) с определенной через него аналитической
функцией в случае рядов, сходящихся в
окрестности нуля (несмотря на то, что
ряды мы будем трактовать всегда как
формальные ряды, то есть только как
формальную запись их коэффициентов).
Таким образом, будем писать, например,
,
(24.7)
,
(24.8)
,
(24.9)
,
(24.10)
и т.д.
Если вспомнить формулу бинома Ньютона
И
положить в этом равенстве
,
то получим
Мы
видим, что
является
производящей функцией для чисел
,
.
С помощью этой производящей функции
можно сравнительно просто доказать
многие свойства чисел
.