Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
Определение.
Функция
называется выпуклой
вверх (или
выпуклой)
на интервале
,
если она дифференцируема на
и ее график расположен ниже касательной,
проведенной в любой точке интервала.
Определение. Функция называется выпуклой вниз (или вогнутой) на интервале , если она дифференцируема на и ее график расположен выше касательной, проведенной в любой точке интервала .
На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c).
Достаточным
условием выпуклости функции
на
является отрицательность ее второй
производной (
),
достаточным
условием вогнутости
положительность ее второй производной
(
).
Определение.
Пусть функция
непрерывна в точке
.
Точка
называется точкой
перегиба
функции
,
если слева и справа от
имеет разные направления выпуклости.
Необходимое
условие существования в точке перегиба
функции.
Если функция
в точке
имеет перегиб, то вторая производная
функции в данной точке равна нулю или
не существует.
Точки, в которых выполнено последнее условие, называются критическими точками второго рода.
Достаточное условие существования точки перегиба: если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная меняет знак, то эта точка является точкой перегиба функции.
На практике для нахождения точек перегиба и участков выпуклости и вогнутости функции сначала следует найти вторую производную и критические точки второго рода; затем разбить область определения функции на интервалы критическими точками второго рода и определить знак второй производной в каждом из полученных интервалов.
Первообразная функции. Неопределенный интеграл.
Определение.
Функция
называется первообразной
функции
на некотором промежутке, если
непрерывна и дифференцируема на этом
промежутке и
=
.
Определение.
Если
и
- две первообразные функции
,
то
-
=с,
где с=const.
Таким образом, если
- первообразная функции
,
то множество {
+с,
с
}
является совокупностью всех первообразных
функции
.
Эта совокупность называется неопределенным
интегралом функции
и обозначается
.
Из определения
непосредственно следует линейность
неопределенного интеграла: если функции
,
имеют первообразные на некотором
промежутке,
то
+
и c
(с=const)
также имеют первообразные, причем
,
.
Приведем таблицу основных формул для неопределенных интегралов (каждая из формул верна на области определения подынтегральной функции и проверяется непосредственно дифференцированием).
,
,
,
>0,
1,
,
,
,
,
,
,
0,
,
0,
,
0,
,
0.
Приведем далее основные правила дифференцирования.
Пусть на некотором
промежутке определена сложная функция
,
где функция
непрерывна и дифференцируема.
Тогда если
существует интеграл
,
то существует
интеграл
,
и
= . (19.1) Формула (19.1) называется формулой интегрирования с помощью замены переменной.
Пример 19.1.
Вычислим интеграл
.
Решение.
Сделаем замену
.
Тогда
,
и
.Возвращаясь
к исходной переменной, окончательно
получаем:
.
Пусть
-
непрерывны и дифференцируемы на
некотором промежутке и существует
интеграл
.
Тогда существует интеграл
и
=
(или
).
(19.2)
Формула (19.2) называется формулой интегрирования по частям.
Пример 19.2.
Вычислим интеграл
.
Решение.
Положим
.
Тогда
,
и по
формуле (19.2) имеем:
.
Иногда формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз.