![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Методические указания к лабораторным работам по курсу лекций "методы оптимизации" Сост. К.В. Демидов, а. В. Духанов
- •Определение количества итераций при заданной точности
- •Метод золотого сечения Алгоритм
- •Определение количества итераций при заданной точности
- •Задание к лабораторной работе
- •Варианты заданий
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа №2. Метод ломаных
- •Постановка задачи
- •Теоретическая часть
- •Сходимость и оценка погрешности метода
- •Оценка константы Липшица
- •Задание к лабораторной работе
- •Варианты заданий
- •Сходимость и оценка погрешности метода
- •Метод условного градиента Алгоритм
- •Сходимость метода и оценка погрешности
- •Задание к лабораторной работе
- •Варианты заданий
- •Контрольные вопросы
- •Сходимость метода и оценка погрешности
- •Задание к лабораторной работе
- •Варианты заданий
- •Сходимость метода
- •Задание к лабораторной работе
- •Варианты заданий
- •Список литературы
Сходимость и оценка погрешности метода
Сходимость метода будем рассматривать при следующих ограничениях на :
,
где (6)
;
В этом случае справедлива теорема.
Теорема 1. Пусть
и
- выпукла на
.
Тогда для последовательности
,
определяемой условиями (3), (6), имеют
место соотношения:
(7)
Если, кроме того,
в (6)
(
),
то справедлива оценка:
(8)
Следует заметить,
что
,
найденное по формуле (4), удовлетворяет
(6) с
.
Метод условного градиента Алгоритм
Метод наискорейшего
спуска не пригоден для нахождения
минимального значения функции, если на
задачу накладываются ограничения вида
.
Одной из модификаций градиентных
методов, позволяющих решать подобные
задачи, является метод условного
градиента.
Он может быть использован для задач следующего вида:
(9)
где
- выпуклое замкнутое ограниченное
множество из
,
функция
.
Опишем метод.
Пусть известно
-е
приближение
.
Приращение функции
в точке
можно представить в виде
.
Возьмем главную линейную часть этого приращения:
, (10)
и определим вспомогательное приближение из условий
(11)
Так как множество
замкнуто и ограничено, а линейная функция
непрерывна, то точка
из (11) всегда существует. Если функция
достигает своей нижней грани на
более чем в одной точке, то в качестве
возьмем любую из них.
Рассмотрим в качестве примера нахождение точки в случае, когда множество представляет собой -мерный параллелепипед:
,
В этом случае
функция
,
или
,
очевидно достигает своей нижней грани
на
в точке
,
где
в случае
здесь возникает неопределенность, и в
качестве
можно взять любое число на отрезке
(иногда берут
).
В общем случае не всегда удается получить в явном виде вспомогательное приближение . В таких ситуациях вместо (11) используются следующие условия:
(12).
Допустим, что точка
,
удовлетворяющая условиям (12) (или (11)),
уже найдена. Тогда
-е
приближение будем искать в виде
(13).
В силу выпуклости
множества
всегда
.
Если
(это может случиться, например, когда
)
имеем
независимо от способа выбора
в (13). При определении
точно из условия (11) имеем:
или
при всех
.
Как известно, это означает, что точка
удовлетворяет необходимому условию
минимума в задаче (9). Более того, если
если
выпукла, то данное условие явлется и
достаточным, т.е. в этом случае задача (9)
решена.
Теперь рассмотрим один из способов выбора шага .
Данная величина может быть определена из следующих условий:
(14).
В частности, для функции
, (15)
где
- симметричная положительно определенная
матрица порядка
,
,
определяемая в соответствии с (15),
вычисляется следующим образом. Вначале
вычисляется промежуточная величина:
(16)
Затем находится искомое значение :
В качестве
можно выбирать любую точку
.
В качестве критериев окончания счета
можно использовать неравенства (5):
Метод условного градиента описан.
Сходимость метода и оценка погрешности
Метод условного градиента сходится с оценкой:
(17)
Задание к лабораторной работе
Разработать программу нахождения минимума функции вида (2), завиящей от двух переменных, при помощи метода наискорейшего спуска и метода условного градиента. Для метода условного градиента в качестве множества взять прямоугольник:
.
Программа должна предлагать пользователю меню, состоящее из трех элементов, первые два из которых позволяют выбрать один из рассмотренных методов, третий – «Выход». Предусмотреть ввод матрицы и вектора и проверку условия положительной определенности и симметричности матрицы .
Начальная точка выбирается произвольно.
Результаты должны содержать: координаты точки минимума для функции , минимальное значение функции и количество итераций.