Метод золотого сечения Алгоритм
Метод золотого
сечения от рассмотренного ранее метода
отличается тем, что он позволяет решить
задачу минимизации унимодальной на
отрезке
функции с требуемой точностью при
меньшем количестве вычислений значений
функции.
Опр. 2. Золотым сечением отрезка называется деление отрезка на две неравные части так, чтобы отношение длины всего отрезка к длине большей части равнялось отношению длины большей части к длине меньшей части отрезка.
Нетрудно проверить,
что золотое сечение отрезка
производится двумя точками
и
,
расположенными симметрично относительно
середины отрезка, причем
.
Точки золотого сечения обладают следующими свойствами, которые используются в методе золотого сечения:
1. Точка
производит золотое сечение отрезка
,
так как
и
.
Аналогично точка
производит золотое сечение отрезка
.
2. Для точек золотого сечения выполняется равенство:
(8)
Алгоритм метода
золотого сечения заключается в следующем.
Положим
.
На отрезке
возьмем точки
,
производящие золотое сечение, и вычислим
значения
.
Далее, если
,
то примем
.
Если же
,
то
.
Здесь важно то, что внутри нового отрезка
уже содержится точка
,
которая производит золотое сечение
этого отрезка. Причем, в этой точке уже
известно значение функции
.
Длина отрезка
.
Опишем
-й
шаг алгоритма. Пусть уже определены
точки
,
вычислены значения
,
найден отрезок
такой, что
,
и известна точка
,
производящее золотое сечение отрезка
,
.
Тогда в качестве следующей точки возьмем
точку
,
которая в силу свойства (2) также производит
золотое сечение отрезка
.
Вычислим значение
.
Пусть для определенности
(случай
рассматривается аналогично). Если
,
то полагаем
;
если же
,
то
.
Новый отрезок
таков, что
,
,
точка
производит золотое сечение отрезка
и
.
Определение количества итераций при заданной точности
После нахождения
к-го отрезка
в качестве приближенного значения к
точке минимума можно взять точку
.
В этом случае погрешность решения, т.е.
расстояние
от точки
до множества точек минимума
оценивается сверху величиной, равной:
. (9)
Учитывая необходимость
достижения заданной точности
,
получаем, что количество требуемых
итераций
должно удовлетворять неравенству:
(10)
или
(11)
Задание к лабораторной работе
Разработать
программу, реализующую оба описанных
метода для функции
;
найти её минимальное значение на отрезке
[-100,100].
Варианты заданий
№ вар. |
|
|
|
№ вар. |
|
|
|
1 |
|
1 |
-0.85 |
16 |
|
-0.3 |
3.5 |
2 |
2 |
-0.65 |
17 |
-0.1 |
4.0 |
||
3 |
3 |
-0.45 |
18 |
0.2 |
4.5 |
||
4 |
4 |
-0.25 |
19 |
0.4 |
5.0 |
||
5 |
5 |
-0.05 |
20 |
0.8 |
5.5 |
||
6 |
6 |
0.15 |
21 |
|
0.2 |
-4.0 |
|
7 |
7 |
0.35 |
22 |
0.4 |
-3.4 |
||
8 |
8 |
0.55 |
23 |
0.6 |
-2.8 |
||
9 |
9 |
0.75 |
24 |
0.8 |
-2.2 |
||
10 |
10 |
0.95 |
25 |
1.0 |
-1.6 |
||
11 |
|
-1.5 |
1.0 |
26 |
1.2 |
-1.0 |
|
12 |
-1.3 |
1.5 |
27 |
1.4 |
-0.4 |
||
13 |
-1.1 |
2.0 |
28 |
1.6 |
-0.2 |
||
14 |
-0.9 |
2.5 |
29 |
1.8 |
0.8 |
||
15 |
-0.7 |
3.0 |
30 |
2.0 |
1.4 |
