Глава 3.

ДАЛЬНЕЙШИЕ ТЕОРЕТИКО-МОДЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ

§3.1 Элементарные расширения

Говорят, что – элементарная подмодель модели ( ), если и для всякой и

Тогда называют элементарным расширением модели .

Пусть Х А и . Следующее предложение очевидно.

10. ( +3.2 )ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.1

1. Если , то .

2. Если и , то

3. Если и и , то .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.2. и для всякой формулы и любых , если , то найдется , что .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По сложности докажем для

Это очевидно для атомных логических связок. Если должны и , то есть такой, что . По предположению индукции и поэтому . Если же , то по условию есть , что . По предположению индукции , значит и .

Элементарным вложением в называется всякий изоморфизм модели на элементарную подмодель модели

Пусть . Элементарной диаграммой модели называется теория , состоящая из всех предложений языка ,истинных в модели .

11. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.3. Пусть – элементарная диаграмма модели . некоторое обогащение модели служило моделью для . Если , то .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.4. Пусть - непустое множество элементарно эквивалентных моделей. Тогда существует модель такая, что всякая элементарно вложима в

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для каждой пусть ее элементарная диаграмма. Можно считать, что . Пусть . Утверждаем, что – непротиворечивое множество. Пусть – конечное подмножество . Можно считать, что принадлежат различным слагаемым множества . Тогда существуют от переменных и элементы , что и Поскольку при получаем, что предложение

истинно в модели , т.е. непротиворечиво. По теореме компактности имеет модель . Пусть - объединение до модели исходного языка . По предложению 3.3 элементарно вложимо в

12. ТЕОРЕМА 3.5 (об элементарных расширениях вверх). Всякая бесконечная модель обладает сколь угодно большими элементарными расширениями.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть – элементарная диаграмма По теореме Лёвенгейма-Скулема имеет сколь угодно большие модели и осталось сослаться на предложение 3.3.

ТЕОРЕМА 3.6 (об элементарных подмоделях вниз). Пусть – модель мощности и . Тогда элементарную подмодель мощности . Если же , то имеет элементарную подмодель мощности содержащую Х.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для всякой формулы и n-ки , удовлетворяющих условию выберем такой, что . Считаем получено из Х присоединением к нему всех таких b. Т.к. и , то . Повторим этот процесс счетное число раз, получая и положим . Множество В замкнуто относительно функции . Пусть подмодель , причем основное множество есть В. Пусть для . Для некоторого m . Тогда найдется и по предложению 3.2 имеем

Теория Т называется модельно полной, если для любых моделей и теории Т влечет .

13. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.7 (критерий модельной полноты). Если Т – теория в языке , то следующие утверждения эквивалентны:

1. Теория Т – модельно полна

2. Для всякой модели теории Т теория полна в языке – диаграмма

3. Если и - модели Т и , то всякое -предложение, истинное в модели , истинно и в

4. Для всякой формулы существует такая -формула , что .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) (2) Пусть – модель Т. Т.к. любое расширение модели элементарно, теория имеет в точности те же модели, что и элементарная диаграмма и поэтому полна.

(2) (3) Если и - модели Т и , то и служат моделями полной теории , т.к всякое -предложение, истинное в , истинно и в

(3) (4) Пусть -формула, – множество всех -предложений язака , для которых . Пусть - модель , а – диаграмма модели . Всякая конечная конъюнкция предложений теории совместима с теорией , т.к. -предложение ложно в и поэтому не входит в Г и не является следствием . Поэтому теория имеет модель . Значит , причем - модель Т. В силу (3), всякое -предложение, истинное в модели , истинно и в В частности истинна в модели . Заключаем: всякая модель будет моделью и для , т.е. . По теореме компактности есть такие, что . Значит . Вынося кванторы вперед и заменяя константы переменными , получим -формулу для которой , т.е. для всякой такая есть.

(3) (4) Пусть и - модели Т, и предположим, что , а - -формула для которой . Тогда и . Поэтому и теория Т модельно полна.

СЛЕДСТВИЕ 3.8. Пусть теория Т не имеет конечных моделей и . Тогда следующие утверждения являются необходимыми и достаточными условиями модельной полноты Т:

1. Для всякой модели теории Т, для которой теория полна.

2. Если и - модели Т, для которых и , то всякое - предложение, истинное в , истинно и в .

14. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.9 (о связи полноты и модельной полноты). Пусть теория Т модельно полна. Тогда

1. Если любые две модели Т изоморфно вкладываются в третью модель Т, то теория полна.

2. Если Т обладает моделью, изоморфно вкладывающейся в любую модель Т, то теория Т полна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вытекает из того факта, что изоморфное вложение одной модели Т в другую модель Т является элементарным вложением.

15. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.10 (Тесть Лося-Вота). Всякая непротиворечивая теория Т имеющая лишь бесконечные модели и -категоричная в некоторой мощности является полной.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно показать, что любые две модели и теории Т эквивалентны. По теореме Лёвенгема-Скулема, существуют такие модели и мощности , что и . Но в силу -категоричности теории Т, , а поэтому и .

В силу этого предположения следующие теории, категоричные в некоторых бесконечных мощностях, оказываются полными.

1. Теория плотно линейно упорядоченных множеств без конечных точек ( -категоричная)

2. Теория безатомных булевых алгебр ( -категоричная)

3. Теория алгебраически замкнутых полей ( -категоричная)

4. Теория бесконечных абелевых групп экспоненты р

5. Теория перестановки множества А без конечных циклов ( -категорична)

Цепью моделей называется возрастающая последовательность моделей упорядоченная по типу ординала Объединением такой цепи есть модель . Ее основное множество будет , а каждое отношение R (функция G) есть объединение

16. ТЕОРЕМА 3.11 (Линдстрём) Пусть Т – теория в счетном языке со свойствами

1. Все модели теории Т бесконечны.

2. Объединение всякой цепи моделей Т будут моделью теории Т.

3. Т – – категорична для некоторого кардинала

Тогда теория Т модельно полна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Модель назовем Т-расширением модели , если и - модели Т. Модель теории Т называется алгебраически замкнутой, если для любого расширения модели , всякое -предложение, истинное в , истинно и в . Согласно предложению 3.7 и следствию 3.8 теория Т модельно полна тогда и только тогда, когда всякая ее модель мощности алгебраически замкнута.

Пусть - модель Т мощности и – множество всех -предложений языка . Образуем цепь моделей Т имеющих мощность и если предложение истинно в некотором Т-расширении , то оно истинно и в . Положим , тогда всякое -предложение , истинное в некотором Т-расширении модели истинно и в Повторяя это построение раз получим цепь , в которой всякое -предложение истинное в некотором Т-расширении модели , истинно в . Отсюда следует, что объединение этой цепи – алгебраически замкнутая модель теории Т мощности Теперь, воспользовавшись -категоричностью Т, получаем, что всякая ее модель мощности алгебраически замкнута. Но Т не имеет конечных моделей и по следствию 3.8 теория Т модельно полна.

17. ТЕОРЕМА 3.12 (Об элементарных цепях). Пусть - элементарная цепь моделей, Тогда . Индукцией по формуле докажем: для всякой , всякого ординала и любых

Для атомных формул и введения логических связок шаг индукции осуществляется легко. Пусть теперь и Если , то существует такой, что . По предположению индукции и . Тогда для некоторых и имеем и . Т.к. образуют цепь, можно считать, что Но и по индукции и поэтому . Но т.к. окончательно получаем .

СЛЕДСТВИЕ 3.13 Объединение цепи моделей модельно полной теории Т сама является моделью Т.

ТЕОРЕМА 3.13 (об элементарных цепях). Пусть - элементарная цепь моделей. Тогда при любом .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Положим и индукцией по формуле докажем: для каждой формулы , ординала и любых ,

Для атомных формул это очевидно, как и при введении пропозициональных связок. Пусть теперь и . Если , то существует такой, что . По предположению индукции и Если же , то для некоторых и имеем и . Т.к. образуют цепь, можно считать, что Но и по предположению индукции и поэтому . Но получаем .

СЛЕДСТВИЕ 3.14 Объединение всякой цепи моделей модельно полной теории Т само является моделью Т.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Приведем пример, показывающий, что нельзя заменить . Пусть . Добавляя n элементов в начале , получим причем , но не имеет первого элемента. Значит .

18. Дадим прямое доказательство теоремы Робинсона без использования интерполяционной теоремы Крэйга.

(ТЕОРЕМА (Робинсона о непротиворечивости) пусть и языки и . Если Т ­ полная теория в языке , а и – непротиворечивые теории в языках и , то –непротиворечивая теория в языке .)

Пусть и – моделFи теорий и . Условимся, что означает элементарную эквивалентность - объединений моделей и , - элементарное вложение в , где ограничение модели по языку . Поскольку и - модели полной теории Т, значит . Значит элементарная диаграмма модели совместима с элементарной диаграммой Поэтому существует некоторое элементарное расширение и вложение . Переходя к обобщенному языку получаем . Проводя такое же построение в другом направлении, получим и вложение

При этом – продолжение . Итерируя эти построения, получим диаграмму,

в которой при всяком и . Положим , Тогда – модель теории , а – модель теории . При этом отображении будет изоморфизмом на модель . Поэтому модель изоморфна некоторой модели , для . Соединяя и в одно целое, получим такую модель языка , что . Следовательно, – модель теории .

Формула языка называется – формулой, если она не содержит кванторов. – формулой ( – формулой) будет формула языка , имеющая вид (соответственно ), где есть – формула ( – формула). Аналогично определяются – предложения ( – предложения). В частности экзистенциальные (универсальные) предложения это – предложения ( – предложения).

Модель называется – расширением модели , если для всякой – формулы и любых из следует . Цепь моделей называется – цепью, если для любых модель является – расширением модели . Всякое расширение модели будет ее – расширением. Следующая лемма – аналог теоремы 3.13.

19. ЛЕММА 3.15. Пусть , – некоторая – цепь моделей и . Тогда

(а) Модель является – расширением каждой модели

(б) Всякое – предложение, истинное во всех моделях истинно и в

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (индукцией по n). Для n=0 он верен. Предполагая, что он справедлив для n=1, докажем его для n. Пусть – некоторая – формула, - – формула. Предположим, что на элементах . Тогда для некоторых имеем . Пусть . Рассмотрим – цепь объединение которой есть . Значит . Этим доказано, что - – расширение модели

Для доказательства (б) рассмотрим –предложение , где - – формула, истинное во всех Пусть . Тогда для некоторого на этих элементах, а потому и . Значит .

Следующая теорема содержит доказательство одного утверждения о логике предикатов.

20. ТЕОРЕМА 3.16 (о – предложениях). Следующие утверждения эквивалентны (n>0):

1. Предложение эквивалентно как некоторому – предложению, так и некоторому – предложению.

2. Предложение эквивалентно некоторой булевой комбинации – предложений.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Булева комбинация предложений это всякая формула, полученная из них в результате соединения произвольным числом связок . То, что булева комбинация предложений эквивалентна и – предложению следует из того факта, что к любому предложению можно добавить фиктивные кванторы, не меняя его смысла.

Обратно, предположим, что выполняется (а). Сначала докажем, что для любых моделей

1. Если всякое предложение истинно в оно истинно в , то .

Пусть для моделей выполнена посылка (1). Построим цепь моделей для которой

2. и при любом . Пусть построена конечная цепь так, что (2) верно для всех , а T – совокупность всех предложений языка , истинных в Ясно, что если дано конечное подмножество множества T, то, взяв конъюнкцию его предложений и навесив квантор существование на все новые константы, получим предложение языка истинное в По посылке (1) Итак, теория непротиворечива и поэтому имеет модель . Тогда цепь будет цепью. Применяя к аналогичные рассуждения, получаем в рассматриваемой цепи модель . Если , то при любом k. Но является предложением и по лемме 3.15 истинно в модели . Если же ложна в , то эквивалентно предложению, истинному в модели – противоречие.

Установив (1) рассуждаем так: если (б) ложно, то для любой конечной совокупности предложений, скажем можно указать такие модели , что

3. Это доказывается так: построим 2^m конъюнкций , где каждое есть или . Некоторая конъюнкция должна быть совместима как с предложением так и с , поскольку иначе имели бы или для всех таких и можно заключить, что эквивалентно некоторой конечной дизъюнкции таких предложений и (б) оказалось бы верным. Отправляясь от (3) по теореме компактности получаем модели , эквивалентные относительно всех предложений, но не эквивалентные относительно , что противоречит (1).

Теорема верна и при n=0, если только язык содержит символы констант.