§ 2.3 Счётные модели полных теорий.

Если – полная теория, то формулу называют полной в теории если для любой имеет место в точности одно из соотношений

или .

Формула называется пополнимой в теории , если для некоторой полной формулы . Теория называется атомной, если всякая совместимая с формула пополнима в . Модель называется атомной, если для всякой n-ки существует полная в теории формула, выполняющаяся на этой n-ки.

Пример. Пусть - полная теория и - константы. Тогда формула полна в . Если же модель такая, что всякий её элемент константа, то - атомная модель.

Пример. Всякая конечная модель и стандартная модель теории чисел атомная.

Пример. Следующая теория полна, но не имеет ни пополнимых формул, ни атомных моделей. Её язык имеет предикатные символы , а аксиомы теории таковы: , где все различны.

0. ТЕОРЕМА (о существовании атомных моделей). Пусть - полная теория. Она имеет счетную атомную модель - атомная теория.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть имеет атомную модель , совместима с . Имеем

Если выполняется на n-к , - полная формула, выполняющаяся на этой n-ке , то невозможна. Значит , т.е. формула пополняема, а теория атомна.

Обратно, пусть – атомная теория. Для каждого обозначим через множество отрицаний всех полных формул . Всякая совместимая с формула пополнима, а поэтому совместима с при некоторой . Значит локально опускает каждое множество . По обобщенной теореме об опускании типов имеет счётную модель , опускающую каждое . Поэтому для всякой n-ки существует полная формула, выполняющаяся на ней, т.е. - атомная модель.

1. ТЕОРЕМА (единственности для атомных мод.) Если и счётные атомные модели и , то .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если или – конечная модель, то очевидно . Пусть и бесконечны. Упорядочим А и В по типу . Доказательство будет примером челночной конструкции.

Пусть - первый элемент А, а – некоторая полная формула, выполняющаяся в на элементе . Т.к. , то и . Пусть теперь – первый элемент , а - некоторая полная формула, выполняющаяся в на элементах . В силу полноты формулы , формула

выполняется и в и в . Поэтому есть такой , что выполняется на паре . Пусть теперь - первый элемент множества и т.д. Перемещаясь раз взад и вперед, получим

и

По ходу этих перемещений будут исчерпаны множества А и В, т.е. и . К тому же, для всякого , на n-ках и выполняется одна и та же полная формула, значит отображение - изоморфизм на модель .

Третий результат об атомных моделях показывает, что их следует мыслить, как модели тории .

Отображение называется элементарным вложением модели в (символически ), если для всех формул и n-ок верно

.

Таким образом, элементарное вложение есть изоморфизм на элементарную подмодель модели .

Модель называется простой, если элементарно вкладывается во всякую модель теории , и счетно-простой, если - счетная модель элементарно вкладывающуюся во всякую счетную модель теории .

2. ТЕОРЕМА (об атомных моделях). Следующие утверждения эквивалентны:

(а) - счетная атомная модель;

(б) - простая модель;

(в) – счетно-простая модель.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть - счетная атомная модель, , и - модель . Если - полная формула, выполняющаяся на элементе , то и поэтому есть такой, что . Если теперь – полная формула, выполняющаяся на паре , то . Выбираем такой, что и т.д. Отображение будет элементарным вложение в .

Пусть теперь - простая модель. Тогда элементарно вложима во всякую счетную модель теории , а значит - счетно-простая модель.

Предположим, что - счетно-проста, и - множество всех формул , выполняющихся на . Для любой счетной модели теории существует и поэтому множество выполняется в на элементах . Итак, Г реализуется во всякой счетной модели . По теореме об опускании типов Г локально реализуется . Поэтому существует совместимая с формула такая, что для всех . Но для всякой либо , либо . Поэтому полна в теории . Невозможно и поэтому , т.е. – полная формула и , т.е. - атомная модель.

Пусть дана модель и . Модель , обозначаем через , а соответствующий ей язык через . Модель называется -насыщенной, если для всякого конечного , любое совместное с теорией множество формул Г(х) языка реализуется в , и счетно-насыщенной, если является счетной и – насыщенной. Заметим, что если - -насыщенная, то и тоже для любого конечного .

ПРИМЕР. Всякая конечная модель; счетная модель теории равенства и упорядочение рациональных чисел счетно-насыщенной модели.

Вспомним, что тип от переменных - это любое максимальное непротиворечивое множество формул . Множество всех предложений Г будет максимальной непротиворечивой теорией, называемой теорией типа Г, а если , то Г – тип теории . Для модели в теории и n-ки множество всех формул выполняющихся на .

Если - множество формул языка , то формулу назовем следствием , если для любой модели на всякой n-ки , если

Через обозначим множество всех следствий в языке из множества предложений . Пусть . Между типами языка и языка имеется взаимно однозначное соответствие. Именно, , будет типом в языке . Обратно, если - тип в языке , то множество формул

является единственным типом , для которого =Г. В определении -насыщенной модели использовано множество формул от одной свободной переменной, но использование формул от любого конечного множества переменных не приводит к усилению вводимого понятия.

3. ПРЕДЛОЖЕНИЕ Если модель -насыщенная, то для любого конечного , всякое совместное с теорией множество формул языка реализуется в модели .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (индукцией по n). Предположим, что результат справедлив для n-1 и множество . Совместимо с . Считаем, что Г замкнуто относительно конечных конъюнкций и

совместимо с и в силу предположения индукции найдётся n-1-ка на которой выполнимо в Полагая получим множество формул совместимое с , т.к. для всех имеем . В силу - насыщенности , существует , на котором

* ( -насыщенные модели от

реализуется в модели Но тогда реализуют множество формул в модели .

4. ТЕОРЕМА (о существовании счетно-насыщенных моделей). Если Т -полная теория, то она имеет счетно-насыщенную модель для всякого в этой теории существует не более счётного множества различных типов от n переменных.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть имеет счётно-насыщенную модель . По предыдущему предложению всякий тип T от n переменных реализуется в модели . Но никакая n-ка не может реализовывать два различных типа от n переменных. Поэтому T имеет не более чем счетное множество различных типов.

Предположим, что теория T имеет при всяком n лишь счётное множество типов от n переменных. Пусть язык , где - счётное множество констант. Для всякого конечного типы теории T в языке находятся во взаимно однозначном соответствии с типами теории T языка . Поэтому T и в языке имеет счётное множество типов и конечных множеств лишь счётное множество. Пусть теперь список всех типов T во всех обогащениях , для конечных и список всех предложений языка Построим в языке такую возрастающую последовательность теорий, . Что для всякого .

1. непротиворечивая теория, содержащая лишь конечное число констант из

2. либо , либо ¬ ;

3. Если попадает в , то и для некоторого ;

4. Если множество формул совместимо с то для некоторого .

Теории строятся непосредственно, а будет максимальной непротиворечивой теорией в языке . Из условия (3) имеет такую модель , что , т.е. счётная модель .

Осталось доказать насыщенность модели . Пусть конечно, а множества формул совместно с . Расширим до некоторого типа теории . Для подходящего имеем и совместим с теории , а поэтому и с теорией . В силу (4) для некоторой , откуда следует, что элемент реализует тип в модели .

СЛЕДСТВИЕ. Полная теория , имеющая не более чем счетное множество неизолированных моделей имеет счетно-насыщенную модель.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Всякий тип реализуется в некоторой её счетной модели, а каждая счетная модель реализует не более счетного множества типов.

5. ТЕОРЕМА (единственности для счетно-насыщенных моделей). Если и - счетно-насыщенные модели и , то и изоморфны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Производная с помощью челночной конструкции напоминает доказательство теоремы единственности для атомных моделей. Различие заключается в том, что работаем с типами, а не с полными формулами. Так как и - счетно-насыщены, то и можно занумеровать так, что , и всякий , который в реализуется , . Поэтому , откуда следует, что , задаваемый отображением .

Модель называется счётно-универсальной, если счетна и всякая счетная модель , для которой , элементарно вкладывается в модель .

6. ТЕОРЕМА (о счётно-универсальных моделях). Всякая счетно-насыщенная модель является счетно-универсальной.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть - некоторая счетная модель, а - счетно-насыщенная, для которой . Пусть . Используя односторонний вариант челночной конструкции и насыщенностью , получаем во множестве такую последовательность , что . Отображение и осуществляет элементарное вложение в модель .

Однако имеются счетно-универсальные модели, и являющиеся счетно-насыщенными.

Напомним, что теория называется - категоричной, если все её модели мощности – изоморфны.

7. ТЕОРЕМА (об описании - категоричных теорий).

Пусть - полная теория. Тогда следующие условия эквивалентны:

является – категоричной.

для всякого теория имеет лишь конечное число типов от .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Установим цепь импликаций

Пусть выполнено и докажем

Теория имеет модель одновременно и счетно-насыщенную, и атомную.

Пусть - единственная счетная модель . Она счетно-проста и поэтому атомная, а т.к. имеет не более счетного числа моделей (одну), то обладает счетно-насыщенной моделью, т.е. будет таковой.

Пусть выполнено и докажем

Для всякого каждый тип теории содержит полную формулу.

В силу – насыщенности модели , тип реализуется некоторой n-кой . Но - атомная модель и поэтому на выполняется некоторая полная формула . Но невозможно , т.е. .

Пусть выполнено и докажем

Для всякого теория имеет конечное число типов от .

Обозначим через множество отрицаний всех полных формул теории . Его можно расширить до типа от и значит не совместимо с . Поэтому уже некоторое конечное не совместимо с теорией , т.е. откуда . Для всякого множество всех следствий теории является типом в . Но в каждой модели на каждой n-ке выполняется одна из формул и значит эта n-ка реализует один из типов , т.е. список исчерпывает все типы от переменных .

Путь выполнено и докажем

Для всякого с точностью до эквивалентности в теории существует лишь конечное число формул .

Для всякой обозначим через множество всех типов теории , содержащих формулу . Тогда равенство влечет . Но в имеется лишь конечное число типов от , скажем . Поэтому существуют всего множеств типов, а поэтому с точностью до эквивалентности в , не более формул.

Из выведем

Все модели теории атомные.

Пусть – модель , и ,…, конечный список всех (с точностью до эквивалентности в ) формул, выполняющихся на . Тогда полная формула , выполняющаяся в на , т.е. - атомная.

Пусть выполнено . Любые две счетные модели атомные и элементарно эквивалентны, а поэтому и изоморфны. Значит - - категоричная теория.

8. ТЕОРЕМА (о насыщенных и атомных моделях). Всякая полная теория , обладающая счетно-насыщенной моделью, имеет и счетную атомную модель.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что не имеет счетной атомной модели. Тогда сама теория не является атомной. Поэтому существует совместимая с непополнимая формула , для которой можно подобрать такие совместимые с формулы и , что

, , (*)

Формулы и также непополнимы. Повторяя аналогичные рассуждения, получим бинарное дерево непополнимых формул

Всякая бесконечная последовательность из 0 и 1 определяет некоторую ветвь этого дерева. Всего существует ветвей. Согласно (*) каждая ветвь представляет собой совместимое с теорией множество формул, а любые две ветви несовместны друг с другом. Расширяя каждую ветвь до соответствующего типа теории , получим различных типов. Поэтому для нет счетно-насыщенной модели.

9. ТЕОРЕМА ВОТА. Никакая полная теория не может обладать точно двумя неизоморфными счетными моделями.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выше показано, что имеет счетно-насыщенную модель и счетно-атомную модель и они неизоморфные, поскольку не атомная, в ней найдется n-ка , на которой не выполняется никакая полная формула. Построим счетную атомную модель полной теории и покажем, что обеднение этой модели не может быть ни – насыщенной, ни атомным.

Поскольку, счетно-насыщена, такой же будет и . Поэтому имеет счетно-насыщенную модель, значит и счетно атомную . Ее обеднение С – модель , которая не атомная потому, что n-ка не удовлетворяет никакой полной формуле. Поскольку не – категорична, она содержит бесконечно много попарно неэквивалентных формул. Поэтому и содержит такие формулы, т.е. никакая модель не является одновременно атомной и – насыщенной. В частности, не – насыщенная и значит С не – насыщенная.