3. Аналогично доказывается параллельность других прямых.

Определение 1. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.

Свойство средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна основанию треугольника и равна его половине.

Дано: ABC; MN, ND, MD – средние линии.

Доказать: MN II AC;

Доказательство:

1. Продолжим MN за точку N и на продолжении отложим PN = MN.

2. Рассмотрим MBN и NPC. BN = NC (по определению средней линии);

MN = NP (по построению); MNВ = PNC (вертикальные);  MВN = NPC (по 1 признаку).

3. BMN = NPC (внутренние накрест лежащие)  АВ II PC.

4. CP = MB (из равенства треугольников); AM = MB (по определению средней линии);  CP = АM.

5. АM II PC; AM = PC  AMPC – параллелограмм  AC = MP; AC II MP.

6. MP = 2MN (по построению)  MN = 0,5AC.

7. AC II MP; MNMP;  MN II AC.

2. Доказать теорему о площади трапеции. Следствие. Доказать, что длина отрезка, параллельного основаниям трапеции и делящего трапецию на две равновеликих трапеции, равна среднему квадратичному оснований.

Определение 1. Высотой трапеции называется общий перпендикуляр ее оснований (или прямых, содержащих основания).

Теорема о площади трапеции. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты:

Доказательство:

Следствие из теоремы о площади трапеции. Площадь трапеции равна произвед ению средней линии и высоты:

Доказательство:

По свойству средней линии трапеции Поэтому

Т еорема 2. Длина отрезка, параллельного основаниям трапеции и делящего трапецию на две равновеликие трапеции, равна среднему квадратичному оснований:

Доказательство:

1. Пусть AD = a, BC = b, BE = h.

2. По свойству равновеликости площадей:

3. По свойству равносоставленности площадей:

Билет № 8.

1. Трапеция. Свойство средней линии трапеции.

Определение 1. Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие – непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а непараллельные стороны – боковыми.

Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной. Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, называется прямоугольной.

Определение 2. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

Свойство средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Дано: ABCD – трапеция; AD II BC; MN – средняя линия.

Доказать: MN II AD; MN II BС;

Доказательство:

Рассмотрим NВС и NDE.

СN = ND (по условию); ВNС = END (вертикальные);

BСN = NDE (внутренние накрест лежащие при BC II AD и секущей CD);

• NВС и NDE (по 2 признаку)  BN = NE; BC = DE.

Рассмотрим AВE. MN – средняя линия MN II AD; MN=0,5AE.

AE = AD + DE = AD + BC 