1. Прямоугольник, ромб, квадрат. Признаки прямоугольника, ромба, квадрата.

Определение 1. Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны.

О собое свойство ромба. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Дано: ABCD – ромб.

Доказать: АС  ВD; ВАС = САD; AВD = DBC.

Доказательство:

Рассмотрим АВС. АВ = ВС, АО = ОС.

 ВО – высота и биссектриса АВC.

 ВС  AD; АВO = CВO.

Рассмотрим АВD. АВ = AD, BО = ОD.

 AО – высота и биссектриса BАD.

 ВAO = OAD.

Признаки ромба.

П ризнак 1. Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то параллелограмм является ромбом.

Дано: ABCD – параллелограмм; АС  ВD.

Доказать: АВСD – ромб.

Доказательство:

АО = ОС; ВО = ОD (по свойству диагоналей параллелограмма);

АОВ = ВОС = СОD = АОD = 90°;

 АОВ = ВОС = СОD = AOD (как прямоугольные по двум катетам);

 АВ = ВС = СD = AD;  АВСD – ромб.

П ризнак 2. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то параллелограмм является ромбом.

Дано: ABCD – параллелограмм;

ВАО = ОАD.

Доказать: АВСD – ромб.

Доказательство:

АО – общая;

ВО = ОD (по свойству диагоналей параллелограмма);

ВАО = DAО (по условию);

 АОВ = AOD (как прямоугольные по катету и прилежащему острому углу);

 АВ = AD  АВСD – ромб.

Определение 2. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

О собое свойство прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны.

Дано: ABCD – прямоугольник.

Доказать: AС = BD.

Доказательство:

Рассмотрим АВС и ВСD.

ВС – общая;

АВ = СD (по свойству параллелограмма);

АС = ВD (по условию);

АВС = ВСD = 90° (по свойству прямоугольника). 

АВС = ВCD (как прямоугольные по двум катетам) АС = ВD.

Признак прямоугольника. Параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником.

Дано: ABCD – параллелограмм; AC = BD. Доказать: ABCD – прямоугольник.

Доказательство:

Рассмотрим АВС и ВСD.

ВС – общая; АС = ВD (по условию); АВ = СD (по свойству параллелограмма) АВС = ВCD (по ССС).

 АВС = ВСD. АВС + ВСD = 180° АВС = ВСD = 90°. В = D и А = С (по свойству параллелограмма).  ABCD – прямоугольник.

Определения: Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы прямые; прямоугольник, у которого все стороны равны; ромб, у которого все углы прямые.

Так как квадрат является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Так как квадрат является прямоугольником, то он обладает особым свойством прямоугольника. Так как квадрат является ромбом, то он обладает особым свойством ромба. Обобщив все перечисленные свойства, получим следующие свойства квадрата.

1. У квадрата все стороны равны.

2. У квадрата все углы прямые.

3. У квадрата диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.

4. У квадрата диагонали взаимно перпендикулярны.

5. У квадрата диагонали являются биссектрисами его углов. Стороны квадрата образуют с диагоналями углы по 45°.

Признаки квадрата. Чтобы доказать, что параллелограмм является квадратом, нужно:

1. Доказать, что параллелограмм является ромбом, а затем доказать, что у этого ромба все углы прямые.

2. Доказать, что параллелограмм является прямоугольником, а потом доказать, что у этого прямоугольника все стороны равны.

2. Доказать теорему о площади произвольного выпуклого четырехугольника и теорему об отношении площадей подобных многоугольников.

Теорема 1: Площадь выпуклого многоугольника равна половине произведения его диагоналей и синуса угла между ними.

Д ано: ABCD – выпуклый четырехугольник; АС и BD – диагонали; AC∩BD = {O}; AOB =.

Доказать:

Доказательство:

Определение подобных треугольников. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

Иначе:

Число k - отношение сходственных сторон - коэффициент подобия.

Теорема об отношении площадей подобных треугольников. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство:

1). АВС А₁В₁С₁ 