1. Дополнительное построение. Проведем отрезок bd – биссектрису авс.

2. ABD = DBC = (по свойству биссектрисы).

4. Из ∆ABD = ∆DBC  A = C.

Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является его медианой и высотой.

Дано: ∆АВС; АВ = ВС. Доказать: BD – медиана, BD – высота.

Доказательство:

2. Из ∆ABD = ∆DBC  AD = DC  AD – медиана по определению.

3. Из ∆ABD = ∆DBC  ADВ = ВDC.

2. Доказать формулы длины окружности, длины дуги окружности.

Определение 1. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности. Из определения окружности следует, что все радиусы имеют равную длину. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

За длину окружности принимается тот предел, к которому стремится (приближается) переменный периметр правильного многоугольника, вписанного в эту окружность, когда число его сторон неограниченно удваивается.

Т еорема 1 (о длине окружности). Длина С окружности радиусом R выражается формулой С = 2R.

Пусть С и С’ – длины окружностей радиусов R и R’. Впишем в каждую из этих окружностей правильный n-угольник. Тогда

Отношение длины окружности к ее диаметру есть число постоянное для всех окружностей. Из этого соотношения получим формулу для нахождения длины окружности C = 2R.

Теорема 2 (о длине дуги окружности). Длина дуги окружности определяется по формуле

Так как длина окружности С = 2R, то длина дуги в 1°

Билет № 3.

1. Признаки параллельных прямых. Следствия. Теорема об углах с соответственно параллельными сторонами.

Теорема 1. Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, не пересекаются (параллельны).

Д ано: а – прямая;

Доказать:

Д оказательство:

1) Допустим, что Мысленно перегнем чертеж по прямой а так, чтобы верхняя часть чертежа наложилась на нижнюю.

2) Так как то луч РА наложится на луч РА₁. Аналогично луч QB наложится на луч QB₁.

3) Если то эта точка наложится на некоторую точку М₁, также лежащую на прямых АА₁ и ВВ₁, т. е.

4) Тогда через две точки М и М₁ проходят две прямые АА₁ и ВВ₁, что противоречит аксиоме существования прямых. Следовательно, прямые АА₁ и ВВ₁ не пересекаются, а значит, по определению параллельных прямых.

Признаки параллельности прямых.

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых третьей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство: Пусть при пересечении прямых a и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы равны. Докажем, что aIIb.

1) Пусть

2) Пусть Проведем через середину отрезка АВ. На прямой b от точки В отложим отрезок BH₁ = AH. Проведем отрезок ОH₁.

3) Рассмотрим ∆AHO и ∆BH₁O.

4) Из 5) Из

6) Из 7)

Т еорема 2. Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано:

Доказать:

Доказательство:

1)

2) и являются внутренними накрест лежащими

Теорема 3. Если при пересечении двух прямых третьей сумма односторонних углов равна 180, то прямые параллельны.

Дано: Доказать:

Доказательство:

1)

2) и являются внутренними накрест лежащими

Теорема 4 (об углах с соответственно параллельными сторонами). Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны или в сумме составляют 180.

Д ано: Доказать:

Доказательство:

1) Если - развернутый, то тоже развернутый. У развернутого угла стороны являются дополнительными полупрямыми и образуют одну прямую.

2) Пусть - неразвернутый. Тогда возможны следующие случаи взаимного расположения этих углов:

Случай 1. (см. рисунок 1).

Продолжим непараллельные стороны углов до пересечения:

Случай 2. (см. рисунок 2).

Продолжим непараллельные стороны углов до пересечения: