1. Признаки равенства треугольников. Свойства равнобедренного треугольника.

Т еорема 1 (первый признак равенства треугольников – СУС). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ∆АВС; ∆А₁В₁С₁; АВ = А₁В₁; A = A₁; АС = А₁С₁.

Доказать: ∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

Доказательство:

1. Наложим ∆авс на ∆а1в1с1 так, чтобы точка а совместилась с точкой а1, а стороны ав и ас наложатся соответственно на лучи а1в1 и а1с1.

2. Поскольку АВ = А₁В₁, точки В и В₁ совпадут, а сторона АВ совместится со стороной А₁В₁.

3. Поскольку АС = А₁С₁, точки С и С₁ совпадут, а сторона АС совместится со стороной А₁С₁.

4. Согласно аксиоме существования прямых стороны ВС и В₁С₁ также совпадут. ∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

Теорема 2 (второй признак равенства треугольников – УСУ). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ∆АВС; ∆А₁В₁С₁; A = A₁; АС = А₁С₁; С = С₁.

Доказать: ∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

Доказательство:

1. Наложим ∆АВС на ∆А₁В₁С₁ так, чтобы точка А совместилась с точкой А₁, сторона АС – с равной ей стороной А₁С₁, а вершины В и В₁ оказались по одну сторону от прямой А₁С₁.

2. Поскольку A = A₁ и С = С₁, то сторона АВ наложится на луч А₁В₁, а сторона СВ наложится на луч С₁В₁. Вершина В – общая точка сторон АВ и СВ – окажется лежащей на лучах А₁В₁ и С₁В₁, а следовательно, совместится с общей точкой лучей А₁В₁ и С₁В₁, т. е. с точкой В₁. Значит, совместятся стороны АВ и А₁В₁, а также СВ и С₁В₁. Значит, ∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

Теорема 3 (третий признак равенства треугольников – ССС). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Д ано: ∆АВС; ∆А₁В₁С₁; АВ = А₁В₁; ВС = В₁С₁; АС = А₁С₁. Доказать: ∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

Доказательство:

1. Дополнительное построение. Приложим ∆АВС к ∆А₁В₁С₁ так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁ и вершина С совместилась с вершиной С₁, а вершина В и вершина В₁ оказались по разные стороны от отрезка АС.

2. Возможны три случая: 1) луч вв1 проходит внутри угла авс; 2) луч вв1 совпадает с одной из сторон угла авс; 3) луч вв1 проходит вне угла авс.

3. Рассмотрим первый случай. Так как АВ = А₁В₁, то ∆АВВ₁ – равнобедренный 

 АВВ₁ = АВ₁В (углы при основании). Так как СВ = СВ₁, то ∆СВВ₁ – равнобедренный  СВВ₁ = СВ₁В (углы при основании).

4. Рассмотрим второй случай. Пусть точка СВВ₁. Так как АВ = А₁В₁, то ∆АВВ₁ – равнобедренный   АВВ₁ = АВ₁В (углы при основании). Так как СВ = СВ₁, то в ∆АВВ₁ АС – медиана.

3. Рассмотрим третий случай. Так как АВ = А₁В₁, то ∆АВВ₁ – равнобедренный 

 АВВ₁ = АВ₁В (углы при основании). Так как СВ = СВ₁, то ∆СВВ₁ – равнобедренный  СВВ₁ = СВ₁В (углы при основании).

Определение 1. Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми, а третья сторона – основанием. Общая вершина двух равных (боковых) сторон называется вершиной равнобедренного треугольника.

О пределение 2. Биссектрисой треугольника называется отрезок, делящий внутренний угол треугольника пополам и проведенный из вершины до пересечения с противоположной стороной. АК – биссектриса угла А.

Определение 3. Медианой треугольника называ­ется отрезок, соединяющий вершину треугольника с середи­ной противоположной стороны. CM – медиана, проведенная к сто­роне АВ, при этом АМ = МВ.

Определение 4. Высотой треугольника называ­ется отрезок перпендикуляра, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону. ВР – высота, опущенная на сто­рону АС.

Свойства равнобедренного треугольника.

Т еорема 1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Дано: ∆АВС; АВ = ВС. Доказать: А = С.

Доказательство: