2. Доказать теорему о высоте прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла.

Теорема о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Д оказательство:

1). Рассмотрим АBС и ВСD.

2). Рассмотрим АDС и ВСD.

АDСВСD (по 1 признаку).

3). Из подобия треугольников:

4). Рассмотрим АВС и ВСD.

АВСВСD

5). Аналогично из подобия АВС и АВD:

Следствие 1. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника в раз больше катета.

Доказательство: Согласно теореме Пифагора

Следствие 2. Диагональ квадрата в раз больше его стороны.

Доказательство: Диагональ делит квадрат на два равных равнобедренных прямоугольных треугольника и является гипотенузой каждого из них. См. следствие 1.

Следствие 3. Квадрат перпендикуляра, опущенного из точки окружности на диаметр, равен произведению отрезков, на которые этот перпендикуляр делит диаметр.

Д оказательство:

1). Рассмотрим АBС и ВСD.

2). Рассмотрим АDС и ВСD.

АDСВСD.

3). Из подобия треугольников:

4). Рассмотрим АВС и ВСD.

АВСВСD

Билет № 20.

1. Доказать теорему Пифагора и ей обратную.

Т еорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Доказательство:

1). Пусть т – прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой с.

2). Построим квадрат K со стороной a + b. На сторонах квадрата отметим точки D, E, F, G так, чтобы отрезки DE, EF, FG, GD отсекали от квадрата K прямоугольные треугольники Т₁, Т₂, Т₃ и Т₄ с катетами a и b.

3). Все прямоугольные треугольники Т₁, Т₂, Т₃ и Т₄ равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т. Следовательно DE = EF = FG = GD.

4). Докажем, что четырехугольник defg является квадратом.

5) По принципу равносоставленности

Теорема, обратная теореме Пифагора. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Доказательство:

1). Пусть в треугольнике АВС АВ² = АС² + ВС². Докажем, что угол С – прямой.

2). Рассмотрим прямоугольный треугольник А₁В₁С₁ с прямым углом С₁, у которого А₁С₁ = АС, В₁С₁ = ВС.

3). В треугольнике А₁В₁С₁ по т-ме Пифагора (А₁В₁)² = (А₁С₁)² + (В₁С₁)². След-но (А₁В₁)² = АС² + ВС².

4). Докажем равенство сторон АВ и А₁В₁.

5). Докажем равенство треугольников  АВС и  А₁В₁С₁.

6). Таким образом, треугольник АВС – прямоугольный с прямым углом С.

На основании доказанной теоремы можно по известным длинам сторон треугольника определять вид треугольника в зависимости от величин его углов.

1. Если АВ² = АС² + ВС², то треугольник АВС прямоугольный с прямым углом С.

2. Если АВ² > АС² + ВС², то треугольник АВС тупоугольный с тупым углом С.

3. Если АВ² < АС² + ВС², причем АВ – наибольшая из сторон треугольника АВС, то треугольник АВС остроугольный, а угол С – самый большой в треугольнике.

Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольникам. Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 называется египетским.

2. Доказать свойство биссектрисы треугольника. Пропорциональность отрезков хорд.

Теорема о биссектрисе угла треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные соответствующим боковым сторонам.

Д оказательство:

1). Пусть BD – биссектриса угла В в АBС. Она разбивает треугольник на два треугольника: АBD и BСD.

2). По теореме синусов из АBD:

3). По теореме синусов из BСD:

4). АDB + CDB = 180° - смежные 

Следствие 1. Пусть BD – биссектриса угла В треугольника АВС. Тогда отрезки AD и CD находятся по формулам:

Доказательство:

Пусть АС = b, AB = c, BC = a. Если AD = x, то DC = b – x. Составим пропорцию:

Т еорема о пропорциональных отрезках хорд. Произведения отрезков хорд, пересекающихся внутри круга, равны.

Доказательство:

1). Докажем подобие треугольников ADM и BCM:

2). Из подобия треугольников: