1) Рассмотрим прямоугольник со сторонами a и b и площадью s.

2) Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a + b, как показано на рисунке. Площадь квадрата равна квадрату его стороны, поэтому

3) Из рисунка видно, что квадрат составлен из двух прямоугольников со сторонами a и b и двух квадратов, причем один из них со стороной a имеет площадь a², а второй – со стороной b имеет площадь b².

Следовательно, площадь каждого прямоугольника равна

Т еорема о площади прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Доказательство: Пусть дан прямоугольный треугольник Т со сторонами a и b. Достроим его до прямоугольника Р со сторонами a и b, проведя через вершины его острых углов прямые, перпендикулярные катетам. Гипотенуза треугольника разбивает прямоугольник на два равных треугольника Т и Т₁. Поэтому

Теорема о площади произвольного треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения любой из его сторон и проведенной к ней высоты:

Доказательство:

1) Пусть  АВС – остроугольный, тогда BN  AC лежит внутри треугольника.

2) Пусть  АВС – тупоугольный с тупым углом С и BN  AC лежит внутри треугольника.

В ычисление площади треугольника через угол. Площадь треугольника равна половине произведения его сторон и синуса угла между ними:

Доказательство:

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Д оказательство:

1). Пусть т – прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой с.

2). Построим квадрат K со стороной a + b. На сторонах квадрата отметим точки D, E, F, G так, чтобы отрезки DE, EF, FG, GD отсекали от квадрата K прямоугольные треугольники Т₁, Т₂, Т₃ и Т₄ с катетами a и b.

3). Все прямоугольные треугольники Т₁, Т₂, Т₃ и Т₄ равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т. Следовательно DE = EF = FG = GD.

4). Докажем, что четырехугольник DEFG является квадратом.

5) По принципу равносоставленности

Значение теоремы Пифагора. Это одна из главных теорем геометрии. С ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии.

Билет № 19.

1. Признаки подобия прямоугольных треугольников. Доказать теорему о том, что в подобных треугольниках отношение двух соответствующих сторон равно отношению двух соответственных высот, биссектрис, медиан.

1). Если в двух прямоугольных треугольниках острый угол одного равен острому углу другого, то такие треугольники подобны.

Следствие первого признака подобия: С =С₁ = 90; А = А₁.

2). Если в двух прямоугольных треугольниках катеты одного треугольника пропорциональны катетам другого, то такие треугольники подобны.

Следствие второго признака подобия: С =С₁ = 90;

3). Если в двух прямоугольных треугольниках гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники подобны.

Пусть АВС и А₁В₁С₁ – два треугольника с прямыми углами С и С₁ и На стороне АС АВС отложим отрезок AD = A₁C₁ от точки С и проведем DE II AB. Получим вспомогательный DBE~ABC. Из подобия треугольников следует: Сравнивая эту пропорцию с данной по условию, получим: Отсюда следует, что DE = A₁C₁.

DBE =  А₁В₁С₁ по гипотенузе и катету. DBE ~  АВС   А₁В₁С₁ ~  АВС.

Теорема об отношении сходственных отрезков в подобных треугольниках. В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны сходственным высотам, сходственным биссектрисам, сходственным медианам.

Так как ABC~A₁B₁C₁, то A =A₁. ABD~A₁B₁D₁, так как A =A₁ и АDB = А₁D₁B₁.

Так как ABC~A₁B₁C₁, то A =A₁ и В =В₁. ABD =A₁B₁D₁=0,5В по свойству биссектрисы 

Так как ABC~A₁B₁C₁, то A =A₁, по свойству медиан. ABD~A₁B₁D₁, так как A =A₁ и 