1. Гомотетия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки.
Д
окажем,
что при гомотетии отрезок переходит
в отрезок.
Пусть при гомотетии точки X и Y переходят в точки X’ и Y’ на лучах ОХ и ОY соответственно, причем
Докажем, что произвольно взятая точка А отрезка XY перешла в точку A’, лежащую на отрезке X’Y’.
Точка
А принадлежит отрезку XY
тогда и только тогда, когда
где 0
t
1. Если число t
плавно изменяется в указанном
диапазоне, то точка A
пробегает по отрезку XY.
По
основному свойству гомотетии
Подставим эти значения в равенство
Получим:
что означает принадлежность точки
A’
отрезку X’Y’.
2. Гомотетия сохраняет величину угла..
Докажем, что XAY = X’A’Y’.
По определению скалярного произведения векторов:
Из равенства косинусов XAY и X’A’Y’ следует равенство самих углов.
3. Гомотетия переводит треугольник в треугольник. Стороны этих треугольников пропорциональны, а соответственные углы равны.
Д
окажем,
что при гомотетии треугольник
переходит в подобный ему треугольник,
у которого: что A
= A’;
Y
= Y’;
X
= X’.
По первому свойству гомотетии отрезки XY, AX, AY переходят соответственно в отрезки X’Y’, A’X’, A’Y’.
По второму свойству гомотетии углы A, Y, X переходят в углы X’, A’ и Y’ соответственно.
Билет № 15.
Д оказать теорему о четырехугольнике, в который вписана окружность. Доказать теорему о сумме катетов прямоугольного треугольника.
Так как центр окружности, вписанной в четырехугольник, равноудален от его сторон, то он принадлежит биссектрисе каждого из его углов. Следовательно, биссектрисы углов описанного четырехугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в него окружности. Обратно, если биссектрисы трех углов четырехугольника пересекаются в одной точке, то эта точка будет равноудалена от всех его сторон, т. е. будет центром вписанной в этот четырехугольник окружности. Итак, для того, чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы биссектрисы трех его углов пересекались в одной точке.
Другой критерий описанного четырехугольника связан с его сторонами.
Т
еорема.
Для того, чтобы в выпуклый четырехугольник
можно было вписать окружность,
необходимо и достаточно, чтобы суммы
его противоположных сторон были
равны.
Необходимость этого условия следует из равенства отрезков касательных к окружности, проведенных из одной точки:
AB + CD = (x + y) + (z + t) = (y + z) + (x + t) = BC + AD.
Теорема (обратная). Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
Пусть четырехугольник ABCD выпуклый и AB + CD = BC +AD.
Д
окажем,
что в него можно вписать окружность.
Действительно, биссектрисы углов ABC и BAD всегда пересекаются, так как сумма этих углов меньше 360◦, значит, сумма их половин меньше 180◦. Точка пересечения биссектрис этих углов есть центр окружности, касающейся сторон AB, BC и AD четырехугольника Покажем, что четвертая сторона CD также касается этой окружности.
Возможны два предположения: