1) Точка c находится вне окружности,

2) Она лежит внутри окружности. При первом предположении и усло-

вии ∠A > 90 стороны BC и DC пересекают окружность вторично в своих внутренних точках E и F. Тогда для вписанного четырехугольника ABED по необходимому условию будет ∠A+∠BED=180. По теореме о внешнем угле треугольника ∠BED > ∠C и потому ∠A+∠C < 180, что противоречит условию. Второе предположение аналогично приводит к противоречию ∠A + ∠C > 180. Доказательство закончено.

Доказательство:

1) Проведем окружность через три вершины четырехугольника A, B, D и докажем, что она проходит также через вершину С. Пусть это не так. Тогда вершина С лежит либо вне круга, либо внутри круга. Пусть точка С лежит вне круга. Тогда

Это противоречит условию теоремы. Следовательно, точка С не может лежать вне окружности.

Пусть точка С лежит внутри круга.

Тогда

Это противоречит условию теоремы. Следовательно, точка С не может лежать внутри окружности.

Вывод: Чтобы выполнялось условие теоремы, точка С должна лежать только на окружности, а четырехугольник ABCD должен быть вписанным в окружность.

2. Гомотетия. Доказать, что гомотетия есть преобразование подобия. Подобие фигур.

Преобразование фигуры F в фигуру F’ называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно м то же число раз. Это значит, что если произвольные точки X и Y фигуры F переходят в точки X’ и Y’ фигуры F’, то X’Y’ = k∙ XY, причем число k одинаково для любых точек X и Y. Число k называется коэффициентом подобия.

Пусть F – данная фигура и О – фиксированная точка. Проведем через произвольную точку Х фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок OX’, равный k∙ОX, где k – число, отличное от нуля. Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка Х переходит в точку X’, построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, а фигуры F и F’ – гомотетичными.

При k > 0 точки О, М, М₁ лежат на одном луче с центром в точке О, при этом При k < 0 точки О, М, М₁ лежат на одной прямой, но точка О лежит между точками М и М₁ и

Термин «гомотетия» в переводе с греческого означает «одинаково расположенный».

Отметим, что при k = 1 преобразование является тождественным. При k = -1 получается центральная симметрия относительно точки О. Таким образом, гомотетия является движением.

Теорема 1. Гомотетия есть преобразование подобия.

Д оказательство:

Пусть О – центр гомотетии; X и Y – две произвольные точки фигуры.

При гомотетии точки X и Y переходят в точки X’ и Y’ на лучах ОХ и ОY соответственно, причем

Вычитая эти равенства почленно, получим:

Так как

Значит,

Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия.

Преобразование подобия широко применяется на практике при выполнении чертежей деталей машин, сооружений, планов местности. Эти изображения представляют собой подобные преобразования воображаемых изображений в натуральную величину. Коэффициент подобия при этом называется масштабом.

Свойства преобразования подобия.