2. Доказать теорему синусов. Следствие.

Т еорема синусов. Отношение двух сторон треугольника равно отношению синусов противолежащих им углов.

Доказательство:

1). Проведем из точки в перпендикуляр к стороне ас.

2). Из ABD (ADB = 90°): BD = AB∙sinA.

3). Из BCD (BDC = 90°): BD = BC∙sinC.

4). AB∙sinA = BC∙sinC.

Теорему синусов можно сформулировать и так: синусы углов треугольника пропорциональны противолежащим сторонам.

Теорема синусов традиционно выводится из равенства трех выражений площади треугольника. Однако ее можно получить совсем просто и в ее полном содержании без использования формулы площади.

П роведем радиус OD окружности, описанной около данного треугольника ABC, перпендикулярный к стороне BC. Тогда углы BAC и BOD равны, так как оба измеряются половиной дуги BC. Точка E пересечения BC и OD — середина BC. Поэтому из прямоугольного ВОЕ имеем:

где R — радиус описанной окружности.

Аналогично b = 2RsinB и c = 2RsinC.

Отсюда

Нетрудно проверить, что в случае, когда угол A тупой или прямой, результат будет тот же.

Для практического применения теорему синусов полезно знать и в такой формулировке: каждая

сторона треугольника равна диаметру описанной около него окружности, умноженному на синус угла, противолежащего этой стороне.

В доказательствах некоторых соотношений при выполнении тождественных преобразований теорему синусов можно использовать в виде:

asinB = bsinA, bsinC = csinB, csinA = asinC.

Билет № 14.

1. Доказать теорему о четырехугольнике, вписанном в окружность, и теорему, ей обратную.

Так как центр описанной около четырехугольника окружности равноудален от его вершин, то он принадлежит серединным перпендикулярaм к его сторонам и диагоналям. Обратно, если серединные перпендикуляры к трем сторонам четырехугольника пересекаются в одной точке, то эта точка будет равноудалена от всех его вершин и поэтому будет центром описанной около него окружности. Итак, для того, чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы серединные перпендикуляры к трем его сторонам пересекались в одной точке.

Другой критерий вписанного четырехугольника связан с его углами.

Т еорема. Для того, чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противоположных углов была равна 180 (т. е. суммы его противоположных углов были равны).

Необходимость этого условия очевидна: сумма углов A и C вписанного четырехугольника ABCD измеряется полусуммой дуг BCD и BAD, составляющих полную окружность, и потому равна 180.

Доказательство:

По теореме о градусной мере вписанного угла в окружности

Теорема (обратная). Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180, то около него можно описать окружность.

Д остаточность. Пусть ∠A + ∠C = 180◦. Тогда эти углы не могут быть оба острыми или оба тупыми. Для определенности будем считать, что ∠A > 90◦. Опишем около треугольника ABD окружность и докажем, что точка C ей принадлежит. Для этого необходимо опровергнуть два возможных

предположения: