1. Доказать теоремы о вписанной и описанной около треугольника окружностях.

Определение 1. Треугольник называется вписанным в окружность, а окружность – описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на окружности.

Теорема 1 (о центре описанной окружности). Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Дано:  АВС; KK₁, NN₁, PP₁ - серединные перпендикуляры.

Д оказать: KK₁ ∩ NN₁ = {O}; KK₁ ∩ PP₁ = {O}.

Доказательство:

1. Пусть серединные перпендикуляры kk1 и nn1 пересекаются в точке о. Соединим точку о с вершинами треугольника авс.

2. По характерному свойству серединного перпендикуляра ОА = ОВ, так как точка О лежит на серединном перпендикуляре KK₁; и OВ = OС, так как точка О лежит на серединном перпендикуляре NN₁. Следовательно, ОA = ОB = OC.

3. Если ОA = OC, то точка О равноудалена от концов отрезка АС и лежит на серединном перпендикуляре РР₁.

Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника равноудалена от всех его вершин и является центром описанной окружности.

Теорема 2 (о существовании описанной окружности): Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Д ано: АВС. Доказать:

1). Существование описанной окружности с центром в точке О.

2) Единственность такой окружности.

Доказательство:

1. В произвольном треугольнике АВС обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров, так как все серединные перпендикуляры в треугольнике пересекаются в одной точке. Соединим точку O с вершинами треугольника. Отрезки AO = ВO = CO, так как точка O равноудалена от вершин треугольника. Поэтому окружность с центром в точке O проходит через все вершины треугольника АВС и является описанной около треугольника. 2. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

Определение 2. Треугольник называется описанным около окружности, а окружность – вписанной в треугольник, если все стороны треугольника лежат на касательных к окружности.

Теорема 3 (о центре вписанной окружности). Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Дано:  АВС; АА₁, ВВ₁, СС₁ - биссектрисы.

Доказать: АА₁ ∩ ВВ₁ = {O}; АА₁ ∩ СС₁ = {O}.

Доказательство:

1. Пусть биссектрисы аа1 и вв1 пересекаются в точке о. Построим из точки о перпендикуляры ok, on и op к сторонам ав, вс и ас треугольника.

2. По характерному свойству биссектрисы ОК = ОР, так как точка О лежит на биссектрисе АА₁; и OK = ON, так как точка О лежит на биссектрисе ВВ₁. Следовательно, ОК = ОР = ON.

3 . Если ОР = ON, то точка О равноудалена от сторон угла С и лежит на биссектрисе СС₁.

Вывод: Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от всех его сторон и является центром вписанной окружности. Точка пересечения биссектрис треугольника называется инцентром.

Теорема 4 (о существовании вписанной окружности): В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Д ано: АВС. Доказать:

1). Существование вписанной окружности с центром в точке О.

2) Единственность такой окружности.

Доказательство:

1. В произвольном треугольнике АВС обозначим буквой О точку пересечения биссектрис, так как все биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке. Опустим из точки O перпендикуляры на все стороны треугольника. Так как точка О равноудалена от сторон треугольника, то отрезки OK = ON = OP. Поэтому окружность с центром в точке O касается всех сторон треугольника АВС и является вписанной в него.

2. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от сторон треугольника и поэтому совпадает с точкой пересечения биссектрис углов треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.