Доказать теорему о площади треугольника. Следствие.
Лемма о площади прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Доказательство:
Пусть дан прямоугольный треугольник
Т со сторонами a
и b.
Достроим его до прямоугольника Р со
сторонами a
и b,
проведя через вершины его острых
углов прямые, перпендикулярные катетам.
Гипотенуза треугольника разбивает
прямоугольник на два равных треугольника
Т и Т1.
Поэтому
Т
еорема
о площади произвольного треугольника.
Площадь треугольника равна половине
произведения любой из его сторон и
проведенной к ней высоты:
Доказательство:
1) Пусть авс – остроугольный, тогда bn ac лежит внутри треугольника.
2) Пусть авс – тупоугольный с тупым углом с и bn ac лежит внутри треугольника.
В
ычисление
площади треугольника через угол.
Площадь треугольника равна половине
произведения его сторон и синуса
угла между ними:
Доказательство:
Следствие из теоремы о площади треугольника. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как их основания.
Доказательство:
Пусть даны треугольники с основаниями
a
и b
и высотой h.
Т
еорема
об отношении площадей треугольников.
Если угол одного треугольника равен
углу другого треугольника, то площади
этих треугольников относятся как
произведения сторон, заключающих
равные углы:
Доказательство:
1. Наложим ∆ А2В2С2 на ∆ А1В1С1 так, чтобы совпали равные углы А1 = А2 .
2. ∆ А1В1С2 и ∆ А1В1С1 имеют общую высоту В1Н, следовательно
3.
∆ А1В2С2
и ∆ А1В1С2
имеют общую высоту С2К,
следовательно
4.
Найдем отношение площадей ∆ А1В1С1
и ∆ А2В2С2
Билет № 11.
1. Центральный угол, его измерение. Перечислить свойства равенства дуг окружности. Доказать теорему об угле между хордой и полукасательной.
Т
очки
А и В разбивают окружность на дуги:
АКВ
и АСВ.
Дуга называется полуокружностью,
если отрезок, соединяющий ее концы,
является диаметром окружности.
Определение 1. Угол, вершина которого лежит в центре окружности, называется центральным углом.
Центральному углу АОВ соответствует АKВ.
Дугу окружности можно измерить в градусах. Если дуга АВ меньше полуокружности, то ее градусная мера равна градусной мере центрального угла АОВ. Если дуга АВ больше полуокружности, то ее градусная мера равна 360° − АОВ.
Сумма градусных мер двух дуг с общими концами равна 360°.
Теоремы о свойствах равенства дуг окружности (прямые). В одном круге или в равных кругах:
1) Если дуги равны, то стягивающие их хорды равны и одинаково удалены от центра;
2) Если две дуги, меньшие полуокружности, не равны, то большая из них стягивается большей хордой и из обеих хорд большая расположена ближе к центру.
стягивающие их хорды равны и одинаково удалены от центра.
Доказательство:
1) Пусть дуга АВ равна дуге ED (рис. слева). Докажем, что АВ = ED и OC = OF. Повернем сектор ОАВ вокруг центра окружности таким образом, чтобы дуга АВ совпала с дугой ED. Тогда точка А совпадет с точкой Е, точка В совпадет с точкой D. Хорда ED совпадет с хордой АВ и перпендикуляр ОС совпадет с перпендикуляром OF, так как из данной точки к прямой можно провести только один перпендикуляр.
2) Пусть дуга АВ меньше дуги ED (рис. справа). Докажем, что АВ < ED и OC > OF. Отложим на дуге ED дугу DP = AB, проведем вспомогательную хорду DP и перпендикуляр к ней OT. Рассмотрим DOP и DOE. OD = OP = OE = R. DE > DP DOP < DOE. Против большего угла лежит большая сторона DE > DP. Так как OT∩DE = {M}, рассмотрим MOF – прямоугольный (OFDE): OM>OF (гипотенуза больше любого из катетов). OT>OM>OF.
Теоремы о свойствах равенства дуг окружности (обратные). В одном круге или в равных кругах:
1) равные хорды одинаково удалены от центра и стягивают равные дуги;
2) хорды, одинаково удаленные от центра, равны и стягивают равные дуги;
3) из двух неравных хорд большая ближе к центру и стягивает большую дугу;
4) из двух хорд, неодинаково удаленных от центра, та, которая ближе к центру, больше и стягивает большую дугу.
Эти теоремы легко доказываются от противного.
Теорема о градусной мере угла, образованного касательной и хордой, проведенной через точку касания. Угол, образованный касательной и хордой, проведенной через точку касания, имеет градусную меру, равную половине градусной меры дуги, заключенной между сторонами этого угла.
Д
оказать:
Доказательство:
Проведем диаметр АС и рассмотрим CАB. По свойству радиуса, проведенного в точку касания, DAC = 90 .
Теоремы о градусной мере углов, связанных с окружностью: