Криволинейные и поверхностные интегралы. Формула Остроградского. Формула Стокса.
Теорема (формула
Стокса): Пусть Ф – это поверхность,
заданная x=x(u,v),
y=y(u,v),
z=z(u,v),
где (u,v)плоской
области Д, ограниченной кусочно-гладким
контуром .
Предполагается, что Ф – это гладкая,
т.е. функции x,
y,
z
– непрерывно дифференцируемы и
отображение из Д в Ф взаимнооднозначно
и взаимнонепрерывно, при этом контур
отображается в L.
Ф без особых точек. На поверхности
выбрана сторона
,
а на контуре L
положительное направление.
Формула Стокса в развернутом виде:
.
Теорема (формула Гаусса-Остроградского)
Пусть V
– тело, ограниченное кусочно-гладкой
поверхностью Ф (замкнутой). Пусть
-
векторное поле (P,Q,R),
определенное и непрерывное на замыкании
Vвместе
со своими частными производными
,
тогда поток векторного поля через
поверхность Ф равен тройному интегралу
от дивергенции
по
телу, ограниченному этой поверхностью.
Поток векторного
поля
.
Покоординатный вид формулы Г.-О.:
.
Левую часть можно записать в виде поверхностного интеграла 2-го рода:
.