
- •Математический анализ
- •Числовые ряды (сходимость числовых рядов; сходимость рядов с неотрицательными членами, признаки их сходимости; абсолютно сходящиеся ряды, их свойства; условно сходящиеся ряды).
- •Производная функции в точке. Дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Формула Тейлора.
- •Интеграл Римана (определение, существование, свойства; дифференцируемость интеграла Римана по верхнему пределу). Существование первообразной у непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
- •Формула Тейлора для функций нескольких переменных. Достаточные условия локального экстремума.
- •Производные и дифференциалы высших порядков функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции многих переменных.
- •Двойной интеграл Римана (сведение двойного интеграла к повторному; замена переменных в двойном интеграле; кратные интегралы).
- •Криволинейные и поверхностные интегралы (формула Грина; условия независимости криволинейного интеграла от формы пути).
- •Криволинейные и поверхностные интегралы. Формула Остроградского. Формула Стокса.
Формула Тейлора для функций нескольких переменных. Достаточные условия локального экстремума.
Будем наделять
метрическое пространство еще и структурой
линейного пространства, полагая для
любых
и
,
что
Легко проверить,
что для введенных подобным образом
операций сложения элементов и умножения
элем-ов на веществ. Числа выполняются
все аксиомы линейного пространства.
Если
то
по определению
Теорема1.
Пусть функция f(x)
имеет в шаре
непрерывные
частные производные всех порядков до
m
включительно. Тогда для любой точки
найдется
число
такое, что справедливо следующее рав-во
(фор-ла Тейлора с остаточным членом в
форме Лагранжа)
а
есть
дифференциал k-го
порядка функции f(x),
вычесленный в точке
,
являющейся однородной формой k-го
порядка относитель-но дифференциалов
независимых переменных
:
Док-во.
Если точка
,
то в силу симметрии шара, и точка
.
Так как шар есть выпуклое множ-во, то
при любом
Поэтому
на [-1,1] определена функция одной
переменной:
Ф-ция
дифф-руема на отрезке [-1,1]. Действительно
применяя правило нахождения производной
слоржной ф-ции, получаем
Аналогично
По
индукции получаем, что для k=1,..,m
справедливы формулы
(**)
Применим к ф-ции формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Существует число такое, что
Полагая
t=1,
получаем
Подставляя в эту
формулу выражение (**) для производных
при t=0,
получаем формулу (*). Чтд.
Следствие. Если выполнены условия теор.1, то для функции f(x) справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
Достаточное условие локального экстремума.Экстремум ф-ции многих переменных.
Пусть функция f(x)
определена в области
и пусть
.
Назовем x0
точкой (локального) минимума ф-ции f(x),
если найдется такой шар
,
что для всех
выполнено неравенство
.
Назовем точку x0
точкой строгого минимума ф-ции f(x),
если найдется такой шар
,
что для всех
(т.е. для всех точек шара, не совпадающих
с его центром) выполнено неравенство
.
Аналогично оп-ределяются точки максимума.
Точки максимума и минимума ф-ции наз.
точками экстремума.
Теорема2.
(достаточные условия экстремума). Пусть
функция f(x)
имеет в окрестности точки
непрерывные
частные производ-ные второго порядка
и пусть
.
Тогда, если второй диф-фернециал
есть
положительно определенная квадратичная
форма, то
–
точка строгого минимума f(x),
если
–
отри-цательно определенная квадратичная
форма, то
–
точка строгого максимума f(x),
если
–
неопределенная квадратичная форма, то
f(x)
не имеет экстремума в точке
.
Производные и дифференциалы высших порядков функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции многих переменных.
Пусть во всех
точках открытого множества
существует
частная производная
.
Эта производная как функция x
может иметь в некоторой точке производную
которая
называется частной производной второго
порядка и обозначается одним из
символов
Если
,
то для частной производной применяется
обозначение
Для ф-ций 2-х переменных можно записать
4-ре производные 2-го порядка в точке
(x,y):
,
,
,
.
Производные
и
называются
смешанными, и они могут быть и не равны.
Теорема о смешанных производных.
Если обе смешанные
производные
и
определены в некоторой окрестности
точки
и
непрерывны в этой точке, то
=
.
Производные порядка
выше первого определяются по индукции.
Например, если f(x)
– функция m
переменных, то
Дифференциалы высших порядков.
Пусть функция u(x)
имеет в области
непрерывные
частные производные первого и второго
порядков. Тогда диффер-ал
есть функция 2n
переменных, а именно
и
.
Если фиксироывать переменные
,
то дифф-ал du(x)
будет функцией x,
имеющей в области G
непрерывные частные производные. Тогда
du(x)
как ф-ция x
имеет в каждой точке
дифф-ал d(du).
Если приращение независимых переменных
оозначить через
,
то
Выражение
d(du(x))
есть илинейная форма относительно
приращений
.
Полагая в этой билинейной форме
,
получим квадратичную форму, которая
наз. вторым дифференц-ом функции u(x)
в точке x
и оозначается через d2u(x).
Таким образом,
Аналогично
полагая, что все частные производные
третьего порядка непрерывны, можно
вычислить первый дифференциал от d2u(x),
после чего положить
и полученную однородную форму третьего
порядка назвать третьим дифференциалом
функции u(x).
Третий дифф-л обозначается через d3u(x).
Таким образом,
По
индукции определяется дифф-л m-го
порядка, в предположении, что все частные
производные m-го
порядка непрерывны в точке x.
Если дифф-ал dm-1u(x)
вычислен как однородная форма порядка
m-1
относительно
с
коэфф-ми являющимися ф-циями x,
то вычисляя первый диф-ал от dm-1u(x)
и пологая затем, что
при i=1,...n,
получим, что dm(x)
есть однородная форма порядка m,
т.е.
Необходимые условия экстремума фунуций многих переменных.
Пусть функция f(x) определена в области и пусть . Назовем x0 точкой (локального) минимума ф-ции f(x), если найдется такой шар , что для всех выполнено неравенство . Назовем точку x0 точкой строгого минимума ф-ции f(x), если найдется такой шар , что для всех (т.е. для всех точек шара, не совпадающих с его центром) выполнено неравенство .. Аналогично оп-ределяются точки максимума. Точки максимума и минимума ф-ции наз. точками экстремума.
Теорема1.
Если в точке экстремума x0
ф-ции f(x)
существует частная производная
,
то она равна нулю.
Док-во.
Пусть, например, существует
.
Рассмотрим ф-цию одной переменной
Так как x0–
точка экстремума(пусть например
минимума), то сущ-ет шар такой, что для
всех точек этого шара. В частности для
любого
должно
быть выполнено равенство
Ф-ция одной переменной
имеет в точке
минимум. Поэтому
,
т.е.
.
Чтд.
Теорема2. (неоходимые условия минимума). Пусть ф-ция f(x) имеет в
окрестности точки
минимума
непрерывные частные производные первого
и второго порядка. Тогда
(Аналогично
доказывается, что для ф-ции f(x),
дважды дифф-мой в окрестности максимума
x0,
выполняются условия
).
Теорема3.
(достаточные условия экстремума). Пусть
функция f(x)
имеет в окрестности точки
непрерывные
частные производ-ные второго порядка
и пусть
.
Тогда, если второй диффернециал
есть
положительно определенная квадратичная
форма, то
–
точка строгого минимума f(x),
если
–
отрицательно определенная квадратичная
форма, то
–
точка строгого максимума f(x),
если
–
неопределенная квадратичная форма, то
f(x)
не имеет экстремума в точке
.
Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов (критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов; признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда).
Функциональная последовательность f1, f2, f3, …,fn, … - последовательность функций, иначе говоря отображение из N в F (множество функций).
Определение: Функциональная последовательность (fn) сходится в точке x0, если числовая последовательность (fn(x0)) сходится. Если последовательность (fn) сходится в каждой точке xE, то говорят, что (fn) сходится поточечно на E.
Определение: fn
f
xE
fn(x)f(x)
функциональный ряд
Un(x),
где Un(x)
– это функции.
Определение: Функциональный ряд называется сходящимся в точке x0E, если числовой ряд Un(x0) сходится. Функциональный ряд называется поточечно сходящимся на E, если для фиксированного xE числовой ряд Un(x) сходится.
Определение: Последовательность fn равномерно сходится к f >0 n : n > n и xE fn(x)-f(x)<.
Обозначение fn(x)
f(x).
Иначе говоря n
зависит только от
и не зависит от x.
Определение равеномерной сходимости
функциональной последовательности
можно переписать в виде: >0
n
: n
> n
fn(x)-f(x).
Иначе говоря fn(x)
f(x)
fn(x)-f(x)=0
и без предположения об ограниченности
всех функций fn(x)
и функции f(x).
Определение: Последовательность
fn
называется
фундаментальной, если >0
n
: n
> n
и
m
> n
имеем
<
или можно записать следующим образом
:
>0 n
: n
> n
и p
– натурального
<.
Теорема (о полноте): Пространство ограниченных функций с равномерной метрикой является полным или иначе говоря, в нем любая фундаментальная последовательность сходится.
Следствие (критерий Коши): Для того, чтобы последовательность fn равномерно сходилась на Е, необходимо и достаточно, чтобы fn была фундаментальна.
Доказательство (теоремы о полноте): Пусть последовательность (fn) – фундаментальная на Е. Зафиксируем произвольное xE. Получим числовую последовательность (fn). Эта числовая последовательность фундаментальна и она сходится. Т.о. задана функция f. При этом fn f. Из определения фундаментальности получаем:
>0 n
: n
> n
и p
– натурального
<.
fn+p(x)-fn(x)
xE
fn+p(x)-fn(x)
xE
fn+p(x)-fn(x),
т.е.
xE
fn(x)-f(x).
Получаем >0
n
: n
> n
xE
fn(x)-f(x).
Это означает,
что fn(x)
f(x).
Ч.т.д.
Пусть Un(x) сходится поточечно на Е. Sn(x) = U1(x)+…+ Un(x) – n-ая частичная сумма. Простейший критерий равномерной сходимости: Sn S
Sn(x)-S(x)=0 Sn(x)-( Sn(x)+nS(x))=0 nS(x)=0 nS 0. Для равномерной сходимости необходимо и достаточно, чтобы последовательность остатков равномерно сходилась к нулю. Необходимое условие равномерной сходимости: Un(x) Un(x) 0. Достаточное условие равномерной сходимости (признак Вейерштрасса): Дано: 1). Un(x) –
функциональный ряд на множестве Е; 2). an – числовой сходящийся ряд; 3). xE n Un(x) an.Тогда данный функциональный ряд Un(x) сходится равномерно на Е.
Доказательство:
Абсолютная сходимость очевидна.
Рассмотрим
=
Sn(x)-S(x)=
nS(x)
an+1+an+2+
… = na
– остаток числового ряда после n-го
члена. Ч.т.д.
Критерий Коши
равномерной сходимости функционального
ряда:
Un(x)
>0
n
: n
> n
и p
– натурального xE
Sn+p(x)-
Sn(x),
Un+1(x)+Un+2(x)+…+Un+p(x).