5. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Формула Тейлора.

Т(Ферма). Пусть f определена в некоторой окрестности U(x₀) и принимает в x₀ наибольшее или наименьшее значение по сравнению со значением f в окрест-ности U(x₀), тогда если в x₀ (x₀) хотябы в широком смысле, то она равна нулю.

Доказательство. , . Пусть например x₀ наибольшее значение, тогда (*) при x>x₀, x U(x₀); (**) при x<x₀, x U(x₀), тогда , т. к. , то они равны нулю и .

Т(Ролля). 1. f непрерывна на [a;b]; 2. Диф-ма на (a;b); 3. f(a)=f(b), тогда .

Доказательство. Т. к. f(x) непрерывна на [a;b], то она ограничена и достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значения. Если и наибольшее и наименьшее принимаются в концах: , тогда . Пусть одно из наибольшего или наименьшего во внутренней точке отрезка, применяем теорему Ферма .

Т(Лагранжа). 1. f непрерывная на отрезке [a;b]; 2. Диф-ма на (a;b);, тогда .

Доказательство. Рассмотрим функцию F(x)=f(x)- (x-a); 1. F(x) непрерывна на [a;b]; 2. производная. F(a)=f(a), F(b)=f(a) применим теорему Ролля ,

.

Т(Коши). Пусть 1. Функции f и g непрерывны на [a;b]; 2. Дифференцируемы на (a;b); 3. на (a;b), тогда .

Доказательство. Докажем, что от противного. Предположим g(b)=g(a), тогда теорема Ролля применима к функции g, получили противоречие с условием 3. Рассмотрим вспомогательную функцию F(x)=f(x)- . Для F(x) выполнимы условия теоремы Ролля .

Формула Тейлора. Пусть f диф-ма в точке x₀, , . Если f(x) имеет производную1-го порядка, то f представима в виде многочлена первой степени +0(x-x₀)¹.

Опр. Пусть f имеет производную до n-го порядка включительно в точке x₀. Многочленом Тейлора функции f в точке x₀ наз мн-н

P_n(x)=f(x₀)+ , P_n(x)= . - формула Тейлора в дифференциалах.

6. Непрерывные функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Опр. Пусть f определена в некоторой окрестности точки x₀, f наз непр в т. x₀, если . По Гейне: какую бы ни взять (x_n) x₀, соответствующая посл-ть значений f(x_n) f(x₀). По Коши: >0 >0 удовлетворяющих неравенству имеем

Пусть f задана на отрезке [a;b], f наз непр на отрезке, если f непрерывна во всех точках из интервала (a;b), непр справа в точке a и непр слева в точке b.

Т(Вейерштрасса): Если f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то f(x) ограничена на отрезке [a;b] и достигает на нем своей точной верхней и нижней грани.

Доказательство: (от противного) Пусть f не ограничена на [a;b], пусть например f неограничена сверху, тогда можно говорить, что sup f(x)=+ (sup всех чисел которые могут быть получены при x [a;b]) x₁ [a;b]: f(x₁)>1, x₂ [a;b]: f(x₂)>2, , x_n [a;b]: f(x_n)>n, Имеем последовательность (x_n) точек отрезка, то сходящящаяся последовательность с другой стороны f непрерывна в x₀, x₀ и следовательно . Доказана ограниченность f на отрезке [a;b]. Докажем, что f достигает своей точной верхней грани; обозначим . x₁ [a;b]: f(x₁)>M-1, x₂ [a;b]: f(x₂)>M- , , x_n [a;b]: f(x_n)>M- , (x_n) последовательность точек отрезка сходящаяся подпоследовательность ; ; M- < при

Т(Больцано-Коши)Если f непр на [a;b] и на концах его принимает знач равных знаков, то

Т(Больцано-Коши. О промежуточном значении)

Если f непрерывна на отрезке [a;b], то для любого с лежащего между f(a) и f(b), то c [a;b]: f(c)=c; т.е.f принимает все промежуточные значения от f(a) до f(b).

Доказательство. Пусть f(a)< f(b, рассмотрим ф-wb. , , , по пред теореме т. с [a;b]: ,т.е. f(c)=с.