Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ЧМ.doc
Скачиваний:
4
Добавлен:
12.09.2019
Размер:
1.95 Mб
Скачать

1. Интерполяционный многочлен Лагранжа, составленный по таблице значений функции имеет вид …

 

 

 

 

 

 

 

2. Методом Эйлера решается задача Коши ,  с шагом . Тогда значение искомой функции  в точке  будет равно …

 

 

 

 

 

 

 

Решение: Метод Эйлера решения задачи Коши , реализуется по следующим формулам: , , где  – шаг расчета (величина изменения аргумента), , а  – искомое решение задачи. Значения  и  для значения  определяются начальным условием задачи Коши. В нашем случае , , , . Требуется реализовать только один шаг (этап) метода Эйлера, поскольку  и . Тогда .

3. Значение дифференцируемой функции  в точке  можно приближенно найти как …

 

 

 

 

 

 

 

Решение: Воспользуемся приближенной формулой . В нашем случае , , , , , . Тогда .

4. Интерполяционный многочлен Лагранжа, составленный по таблице значений функции имеет вид …

 

 

 

 

 

 

 

Решение: Интерполяционный многочлен Лагранжа 2-ой степени для таблицы имеет вид: . В нашем случае получим: .

5. Методом Эйлера с шагом  решается задача Коши для системы дифференциальных уравнений  с начальными условиями , . Тогда значения искомых функций  и  равны …

 

 

 

 

 

 

 

6. Значение дифференцируемой функции в точке можно приближенно найти как …

 

 

 

 

 

 

 

Решение: Воспользуемся приближенной формулой . Тогда . В нашем случае ,  и   Следовательно, получаем .

7. Методом Эйлера решается задача Коши , с шагом . Тогда значение искомой функции в точке будет равно …

 

 

 

 

 

 

 

Решение: Метод Эйлера решения задачи Коши , реализуется по следующим формулам: ; ; где  – шаг расчета (величина изменения аргумента), , а  – искомое решение задачи. Значения  и  для значения  определяются начальным условием задачи Коши. В нашем случае ; ; ; . Требуется реализовать два шага (этапа) метода Эйлера, поскольку ; ; . Тогда .

8. Функция  представлена таблицей: Тогда в интерполяционном полиноме Лагранжа 2-ой степени с узлами , составленном по этой таблице для приближенного вычисления  при условии  значение  не может быть равно

 8

 

 23

 

 12

 

 20

Решение: Для получения интерполяционного полинома Лагранжа 2-ой степени требуются три узла  и значения данной функции в них: . Это могут быть любые три точки  из таблицы, удовлетворяющие двум условиям:  и . Следовательно, в качестве узла  нельзя брать 0, 1, 3, 4. Следовательно,  не может принимать значения 2, 3, 5 или 8.

9. Метод левых прямоугольников дает приближенное значение интеграла  …

 с недостатком

 

 с избытком

 

 точно

 

 про которое ничего определенного сказать нельзя

10. На рисунке изображена геометрическая интерпретация приближенного вычисления определенного интеграла методом …

 трапеций

 

 правых прямоугольников

 

 парабол

 

 левых прямоугольников

Решение: Как известно, геометрический смысл определенного интеграла от неотрицательной непрерывной на отрезке  функции  состоит в том, что  равен площади криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми  и графиком функции . Для получения приближенного значения этой площади (этого интеграла) разобьем отрезок  на n равных частей с длинами h точками  и заменим каждую «маленькую» криволинейную трапецию с высотой h на обычную трапецию с высотой h и основаниями, равными значениям функции в левом и правом конце каждого частичного отрезка –  и  где   Сумма площадей полученных обычных трапеций приближенно равна сумме площадей маленьких криволинейных трапеций. Данный метод замены  на сумму  называется методом трапеций приближенного нахождения определенного интеграла.

11. Решение дифференциального уравнения  на отрезке  с шагом , при начальном условии , в точке  по методу Эйлера может быть найдено как …

 

 

 

 

 

 

 

Решение: Метод Эйлера решения задачи Коши ,  реализуется по следующим формулам: , , где  – шаг расчёта (величина изменения аргумента), , а  – искомое решение задачи. Значения  и  для значения  определяются начальным условием задачи Коши. В нашем случае , , , . Требуется реализовать только один шаг (этап) метода Эйлера, поскольку  и . Тогда .

12. Значение определенного интеграла  по формуле парабол (Симпсона) можно приближенно найти как …

 

 

 

 

 

 

 

13. Функция  представлена таблицей Тогда значение , вычисленное с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, равно …

 3

 

 2

 

 1

 

 6

Решение: Интерполяционный многочлен Лагранжа 2-ой степени для таблицы имеет вид: В нашем случае получим: Тогда .

14. Для задачи Коши  выполнен один шаг получения приближенного решения методом Эйлера - Коши с шагом : Тогда значение   , записанное с двумя знаками после запятой, равно …

 1,12

 

 0,9155

 

 1,11

 

 1,1155

Решение: По условию задачи известно, что начальная точка интегральной кривой имеет координаты: . Правая часть уравнения: . Получим следующую точку:

15. Функция  представлена таблицей: Тогда график многочлена, интерполирующего эту функцию, пересекает ось  в точке с абсциссой …

 5,5

 

 11

 

 6

 

 0