Авл‑деревья

АВЛ‑деревья (AVL trees) были названы в честь русских математиков Адельсона‑Вельского и Лэндиса, которые их изобрели. Для каждого узла АВЛ‑дерева, высота левого и правого поддеревьев отличается не больше, чем на единицу. На рис. 7.2 показано несколько АВЛ‑деревьев.

Хотя АВЛ‑дерево может быть несколько выше, чем полное дерево с тем же числом узлов, оно также имеет высоту порядка O(log(N)). Это означает, что поиск узла в АВЛ‑дереве занимает время порядка O(log(N)), что достаточно быстро. Не столь очевидно, что можно вставить или удалить элемент из АВЛ‑дерева за время порядка O(log(N)), сохраняя при этом порядок дерева.

======156

@Рис. 7.2. АВЛ‑деревья

Процедура, которая вставляет в дерево новый узел, рекурсивно спускается вниз по дереву, чтобы найти местоположение узла. После вставки элемента, происходят возвраты из рекурсивных вызовов процедуры и обратный проход вверх по дереву. При каждом возврате из процедуры, она проверяет, сохраняется ли все еще свойство АВЛ‑деревьев на верхнем уровне. Этот тип обратной рекурсии, когда процедура выполняет важные действия при выходе из цепочки рекурсивных вызовов, называется восходящей (bottom‑up) рекурсией.

При обратном проходе вверх по дереву, процедура также проверяет, не изменилась ли высота поддерева, с которым она работает. Если процедура доходит до точки, в которой высота поддерева не изменилась, то высота следующих поддеревьев также не могла измениться. В этом случае, снова требуется балансировка дерева, и процедура может закончить проверку.

Например, дерево слева на рис. 7.3 является сбалансированным АВЛ‑деревом. Если добавить к дереву новый узел E, то получится среднее дерево на рисунке. Затем выполняется проход вверх по дереву от нового узла E. В самом узле E дерево сбалансировано, так как оба его поддерева пустые и имеют одинаковую высоту 0.

В узле D дерево также сбалансировано, так как его левое поддерево пустое, и имеет поэтому высоту 0. Правое поддерево содержит единственный узел E, и поэтому его высота равна 1. Высоты поддеревьев отличаются не больше, чем на единицу, поэтому дерево сбалансировано в узле D.

В узле C дерево уже не сбалансировано. Левое поддерево узла C имеет высоту 0, а правое — высоту 2. Эти поддеревья можно сбалансировать, как показано на рис. 7.3 справа, при этом узел C заменяется узлом D. Теперь поддерево с корнем в узле D содержит узлы C, D и E, и имеет высоту 2. Заметьте, что высота поддерева с корнем в узле C, которое ранее находилось в этом месте, также была равна 2 до вставки нового узла. Так как высота поддерева не изменилась, то дерево также окажется сбалансированным во всех узлах выше D.

Вращения авл‑деревьев

При вставке узла в АВЛ‑дерево, в зависимости от того, в какую часть дерева добавляется узел, существует четыре варианта балансировки. Эти способы называются правым и левым вращением, и вращением влево‑вправо и вправо‑влево, и обозначаются R, L, LR и RL.

Предположим, что в АВЛ‑дерево вставляется новый узел, и теперь дерево становится несбалансированным в узле X, как показано на рис. 7.4. На рисунке изображены только узел X и два его дочерних узла, а остальные части дерева обозначены треугольниками, так как их не требуется рассматривать подробно.

Новый узел может быть вставлен в любое из четырех поддеревьев узла X, изображенных в виде треугольников. Если вы вставляете узел в одно из этих поддеревьев, то для балансировки дерева потребуется выполнить соответствующее вращение. Помните, что иногда балансировка не нужна, если вставка нового узла не нарушает упорядоченность дерева.