Обход упорядоченных деревьев

Полезное свойство упорядоченных деревьев состоит в том, что их порядок совпадает с порядком симметричного обхода. Например, при симметричном обходе дерева, показанного на рис. 6.20, обращение к узлам происходит в порядке 2-4-5-6-7-8-9.

@Рис. 6.20. Симметричный обход упорядоченного дерева: 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9

=========139

Это свойство симметричного обхода упорядоченных деревьев приводит к простому алгоритму сортировки:

1. Добавить элемент к упорядоченному дереву.

2. Вывести элементы, используя симметричный обход.

Этот алгоритм обычно работает достаточно хорошо. Тем не менее, если добавлять элементы к дереву в определенном порядке, то дерево может стать высоким и тонким. На рис. 6.21 показано упорядоченное дерево, которое получается при добавлении к нему элементов в порядке 1, 6, 5, 2, 3, 4. Другие последовательности также могут приводить к появлению высоких и тонких деревьев.

Чем выше становится упорядоченное дерево, тем больше времени требуется для добавления новых элементов в нижнюю часть дерева. В наихудшем случае, после добавления N элементов, дерево будет иметь высоту порядка O(N). Полное время вставки всех элементов в дерево будет при этом порядка O(N²). Поскольку для обхода дерева требуется время порядка O(N), полное время сортировки чисел с использованием дерева будет равно O(N²)+O(N)=O(N²).

Если дерево остается достаточно коротким, оно имеет высоту порядка O(log(N)). В этом случае для вставки элемента в дерево потребуется всего порядка O(log(N)) шагов. Вставка всех N элементов в дерево потребует порядка O(N * log(N)) шагов. Тогда сортировка элементов при помощи дерева потребует времени порядка O(N * log(N)) + O(N) = O(N * log(N)).

Время выполнения порядка O(N * log(N)) намного меньше, чем O(N²). Например, построение высокого и тонкого дерева, содержащего 1000 элементов, потребует выполнения около миллиона шагов. Построение короткого дерева с высотой порядка O(log(N)) займет всего около 10.000 шагов.

Если элементы первоначально расположены в случайном порядке, форма дерева будет представлять что‑то среднее между этими двумя крайними случаями. Хотя его высота может оказаться несколько больше, чем log(N), оно, скорее всего, не будет слишком тонким и высоким, поэтому алгоритм сортировки будет выполняться достаточно быстро.

@Рис. 6.21. Дерево, полученное добавлением элементов в порядке 1, 6, 5, 2, 3, 4

==========140

В 7 главе описываются способы балансировки деревьев, для того, чтобы они не становились слишком высокими и тонкими, независимо от того, в каком порядке в них добавляются новые элементы. Тем не менее, эти методы достаточно сложны, и их не имеет смысла применять в алгоритме сортировки при помощи дерева. Многие из алгоритмов сортировки, описанных в 9 главе, более просты в реализации и обеспечивают при этом лучшую производительность.

Деревья со ссылками

Во 2 главе показано, как добавление ссылок к связным спискам позволяет упростить вывод элементов в разном порядке. Вы можете использовать тот же подход для упрощения обращения к узлам дерева в различном порядке. Например, помещая ссылки в листья двоичного дерева, вы можете облегчить выполнение симметричного и обратного обходов. Для упорядоченного дерева, это обход в прямом и обратном порядке сортировки.

Для создания ссылок, указатели на предыдущий и следующий узлы в порядке симметричного обхода помещаются в неиспользуемых указателях на дочерние узлы. Если не используется указатель на левого потомка, то ссылка записывается на его место, указывая на предыдущий узел при симметричном обходе. Если не используется указатель на правого потомка, то ссылка записывается на его место, указывая на следующий узел при симметричном обходе. Поскольку ссылки симметричны, и ссылки левых потомков указывают на предыдущие, а правых — на следующие узлы, этот тип деревьев называется деревом с симметричными ссылками (symmetrically threaded tree). На рис. 6.22 показано дерево с симметричными ссылками, которые обозначены пунктирными линиями.

Поскольку ссылки занимают место указателей на дочерние узлы дерева, нужно как‑то различать ссылки и обычные указатели на потомков. Проще всего добавить к узлам новые переменные HasLeftChild и HasRightChild типа Boolean, которые будут равны True, если узел имеет левого или правого потомка соответственно.

Чтобы использовать ссылки для поиска предыдущего узла, нужно проверить указатель на левого потомка узла. Если этот указатель является ссылкой, то ссылка указывает на предыдущий узел. Если значение указателя равно Nothing, значит это первый узел дерева, и поэтому он не имеет предшественников. В противном случае, перейдем по указателю к левому дочернему узлу. Затем проследуем по указателям на правый дочерний узел потомков, до тех пор, пока не достигнем узла, в котором на месте указателя на правого потомка находится ссылка. Этот узел (а не тот, на который указывает ссылка) является предшественником исходного узла. Этот узел является самым правым в левой от исходного узла ветви дерева. Следующий код демонстрирует поиск предшественника:

@Рис. 6.22. Дерево с симметричными ссылками

==========141

Private Function Predecessor(node As ThreadedNode) As ThreadedNode Dim child As ThreadedNode

If node.LeftChild Is Nothing Then

' Это первый узел в порядке симметричного обхода.

Set Predecessor = Nothing

Else If node.HasLeftChild Then

' Это указатель на узел.

' Найти самый правый узел в левой ветви.

Set child = node.LeftChild

Do While child.HasRightChild

Set child = child.RightChild

Loop

Set Predecessor = child

Else

' Ссылка указывает на предшественника.

Set Predecessor = node.LeftChild

End If

End Function

Аналогично выполняется поиск следующего узла. Если указатель на правый дочерний узел является ссылкой, то она указывает на следующий узел. Если указатель имеет значение Nothing, то это последний узел дерева, поэтому он не имеет последователя. В противном случае, переходим по указателю к правому потомку узла. Затем перемещаемся по указателям дочерних узлов до тех, пор, пока очередной указатель на левый дочерний узел не окажется ссылкой. Тогда найденный узел будет следующим за исходным. Это будет самый левый узел в правой от исходного узла ветви дерева.

Удобно также ввести функции для нахождения первого и последнего узлов дерева. Чтобы найти первый узел, просто проследуем по указателям на левого потомка вниз от корня до тех пор, пока не достигнем узла, значение указателя на левого потомка для которого равно Nothing. Чтобы найти последний узел, проследуем по указателям на правого потомка вниз от корня до тех пор, пока не достигнем узла, значение указателя на правого потомка для которого равно Nothing.

Private Function FirstNode() As ThreadedNode

Dim node As ThreadedNode

Set node = Root

Do While Not (node.LeftChild Is Nothing)

Set node = node.LeftChild

Loop

Set PirstNode = node

End Function

Private Function LastNode() As ThreadedNode

Dim node As ThreadedNode

Set node = Root

Do While Not (node.RightChild Is Nothing)

Set node = node.RightChild

Loop

Set FirstNode = node

End Function

=========142

При помощи этих функций вы можете легко написать процедуры, которые выводят узлы дерева в прямом или обратном порядке:

Private Sub Inorder()

Dim node As ThreadedNode

' Найти первый узел.

Set node = FirstNode()

' Вывод списка.

Do While Not (node Is Nothing)

Print node.Value

Set node = Successor(node)

Loop

End Sub

Private Sub PrintReverseInorder()

Dim node As ThreadedNode

' Найти последний узел

Set node = LastNode

' Вывод списка.

Do While Not (node Is Nothing)

Print node. Value

Set node = Predecessor(node)

Loop

End Sub

Процедура вывода узлов в порядке симметричного обхода, приведенная ранее в этой главе, использует рекурсию. Для устранения рекурсии вы можете использовать эти новые процедуры, которые не используют ни рекурсию, ни системный стек.

Каждый указатель на дочерние узлы в дереве содержит или указатель на потомка, или ссылку на предшественника или последователя. Так как каждый узел имеет два указателя на дочерние узлы, то, если дерево имеет N узлов, то оно будет содержать 2 * N ссылок и указателей. Эти алгоритмы обхода обращаются ко всем ссылкам и указателям дерева один раз, поэтому они потребуют выполнения O(2 * N) = O(N) шагов.

Можно немного ускорить выполнение этих подпрограмм, если отслеживать указатели на первый и последний узлы дерева. Тогда вам не понадобится выполнять поиск первого и последнего узлов перед тем, как вывести список узлов по порядку. Так как при этом алгоритм обращается ко всем N узлам дерева, время выполнения этого алгоритма также будет порядка O(N), но на практике он будет выполняться немного быстрее.

========143