Понятие об изогональных траекториях.

Задача. Пусть на плоскости XOY задано однопараметрическое семейство кривых

(I) - . Найти уравнение семейства кривых (II) пересекающих кривые первого семейства под заданным постоянным углом . Семейство (II) называют изогональным семейству (I).

Решение.

Выведем д.у. первого семейства также как это делалось выше. Мы получим:

Пользуясь определением изогональности найдем связь между угловыми коэффициентами касательных и кривых семейств I и II в точках их пересечения. Пусть , и пусть X и Y координаты точек кривых семейства II. По формуле угла между 2-мя прямыми на плоскости получим:

Подставляя последние выражение в д.у. семейства кривых I получим д.у. искомого семейства II :

Интегральные кривые этого д.у. и будут искомыми изогональными кривыми.

Если то траектории называют ортогональными. В этом случае зависимость между и будет наиболее простой: , и , т.о. д.у. семейства ортогональных кривых запишется в виде: .

Пример. Найти ортогональные траектории к семейству парабол . Исключая С из системы получим тогда д.у. семейства ортогональных траекторий

интегрируя почленно, получим

-семейство подобных эллипсов.

Сказанное выше относится и к уравнениям вида:

(*)

но с небольшими дополнениями. Во-первых, (*) может иметь несколько решений, относительно :

(**)

и т.д.

Теорема Коши в отношении каждого уравнения обуславливает единственность и существование интегральной кривой, проходящей через . Поэтому, для (*) при выполнении дополнительного условия

через любую , в которой выполнены условия теоремы Коши для (*), проходит столько кривых, сколько решений имеет (*). Для (*) общее решение также зависит от одной константы:

Иногда, решение д.у. приводит к выражениям вида:

не разрешенных относительно y. Такое соотношение называют общим интегралом д.у.

Пример.

будет удовлетворено, если - общий интеграл.

- общее решение. Семейство изоклин для (*), найдем из соотношения , где

Особые точки и особые решения д.у..

Теорема Коши гарантирует существование решения д.у. , проходящего через , если :

a) непрерывна и б) - существует и ограничена.

Нарушение хотя бы одного условия может привести к тому, что решение может не существовать, либо оно может быть неединственным. Если теорема Коши нарушается только в отдельных изолированных точках, то они называются особыми точками д.у.. Поведение интегральных кривых в окрестности особых точек может быть различным ( непредсказуемым ).

Если же нарушение условий теоремы Коши имеет место вдоль некоторой кривой, то она может оказаться интегральной кривой данного д.у.. Такую интегральную кривую называют особой, а соответствующее решение – особым решением.

Опр. Решение д.у. первого порядка называется особым, если через любую точку его интегральной кривой проходит по крайней мере еще одна интегральная кривая того же д.у., имеющая в этой точке ту же касательную.

Особое решение, как правило, в общем решении не содержится, т.е. не может быть получено ни при каком выборе константы

Пример. - общее решение , проверяется подстановкой. Условия теоремы Коши нарушены на y=0 т.к.

Легко видеть, что y=0 – интегральная кривая, причем особая, т.к. через каждую ее точку проходит входящая в общее решение , касательной к которой служит y=0. Прямую же y=0 ни при каком С не получим.