- •Пояснительная записка к курсовой работе по теме: "Цифровые фильтры и их свойства"
- •Содержание:
- •2.1 Цифровые фильтры и их свойства.
- •2.2 Свойства цифровых фильтров.
- •2.3.1 Аналоговые фильтры-прототипы.
- •2.3.2 Фильтры Баттерворта.
- •3. Генерация входной последовательности сигнала
- •3.1 Полигармонический сигнал и случайный шум.
- •Xlabel('в р е м я (с е к)');
- •Xlabel('в р е м я (сек)');
- •7. Приложение
- •1. Filter
- •2. Freqz
- •3. Butter
- •5. Ifft
2.2 Свойства цифровых фильтров.
1. Цифровой фильтр называется стационарным, если его параметры не изменяются во времени, т.е. предварительно невозбужденный фильтр, в котором x(n)=y(n)=0 при всех n<0 называют стационарным тогда и только тогда, когда
для всех возможных воздействий.
2. Цифровой фильтр называют линейным тогда и только тогда, когда
для всех и - произвольных постоянных и всех допустимых воздействий x1(n) и x2(n).
3. Цифровой фильтр называют физически реализуемым, если величина отклика при n=n0 зависит только от значений входной последовательности с номерами nn0. Это означает, что импульсная характеристика h(n) равна нулю при n<0.
4. Цифровой фильтр называется устойчивым тогда и только тогда, когда реакция на ограниченное воздействие ограничена, т.е. если из при всех n следует при всех n. Необходимым и достаточным условием устойчивости фильтра является следующее требование к его импульсной характеристике:
.
2.3 БИХ – фильтры. Методы синтеза.
Фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ - фильтром) называют фильтр, длина импульсной характеристики которого не ограничена справа или слева.
Будем рассматривать БИХ-фильтры при условии, что они являются физически реализуемыми и устойчивыми. Для импульсных характеристик таких фильтров h(n) справедливы следующие ограничения:
Наиболее общая форма записи z-преобразования импульсной характеристики БИХ-фильтров имеет вид:
(3)
Будем предполагать, что MN. Системы, удовлетворяющие этому условию, называют системами N-го порядка.
Решение задачи расчета фильтров сводится к нахождению значений его коэффициентов ai и bi, обеспечивающих аппроксимацию заданных характеристик фильтра. Таким образом, задача расчета фильтра в значительной мере сводится к задаче аппроксимации и может быть решена чисто математическими методами.
Наиболее распространенным методом расчета цифровых БИХ-фильтров является метод дискретизации аналогового фильтра, удовлетворяющего заданным требованиям. При расчете цифровых фильтров верхних частот, полосовых и режекторных используются два подхода, представленные на рис. 2.
рис.2.
В первом случае нормализованный аналоговый фильтр предварительно преобразуется в другой аналоговый фильтр, из которого путем дискретизации рассчитывается фильтр с заданными характеристиками. Во втором случае нормализованный фильтр нижних частот дискретизуется сразу же, а затем путем преобразования его полосы частот формируется цифровой фильтр с заданными характеристиками.
2.3.1 Аналоговые фильтры-прототипы.
Приведем расчетные формулы для нескольких стандартных типов аналоговых фильтров. Пусть нужно рассчитать аналоговый фильтр нижних частот с частотой среза =1 рад/с. В качестве аппроксимируемой функции будет использоваться квадрат амплитудной характеристики (исключением является фильтр Бесселя).
Будем считать, что передаточная функция аналогового фильтра является рациональной функцией переменной S следующего вида:
2.3.2 Фильтры Баттерворта.
Фильтры Баттерворта нижних частот характеризуются тем, что имеют максимально гладкую амплитудную характеристику в начале координат в S-плоскости. Квадрат амплитудной характеристики нормированного (т.е. имеющего частоту среза 1 рад/с) фильтра Баттерворта равен:
,
где n - порядок фильтра. Аналитически продолжая функцию на всю S-плоскость, получим
Все полюсы этой функции находятся на единичной окружности на одинаковом расстоянии друг от друга в S-плоскости. Выразим передаточную функцию H(S) через полюсы, располагающиеся в левой полуплоскости S:
,
где , k=1,2,...,n
k0 - константа нормирования.
Можно сформулировать несколько свойств фильтров Баттерворта нижних частот.
· Фильтры Баттерворта имеют только полюсы (все нули передаточных функций этих фильтров расположены на бесконечности).
· На частоте =1 рад/с коэффициент передачи фильтра равен (т.е. на частоте среза их амплитудная характеристика спадает на 3 дБ).
· Порядок фильтра n полностью определяет весь фильтр.