ГрафиКон’99 Москва, 26 августа – 1 сентября 1999

9-я Международная Конференция по Компьютерной Графике и Машинному Зрению ГрафиКон’99 Москва, 26 августа - 1 сентября 1999 г.

Учебный курс

Введение в вейвлет-анализ

Леонид Левкович-Маслюк,

ИПМ РАН, Москва,

levkovl@spp.keldysh.ru

Антон Переберин,

ИПМ РАН, Москва,

avpereb@cs.msu.su

Лекция 1

Вейвлет-преобразование и кратномасштабный анализ.

• Что такое вейвлет-преобразование?

• Кратномасштабный анализ и ортогональные вейвлеты.

• Быстрый алгоритм вычисления ортогонального вейвлет-преобразования.

Что такое вейвлет-преобразование?

Еще 10 лет назад основным способом анализа сигналов (например, временных рядов) было изучение «спектра Фурье». В основе любого из множества разработанных для этой цели методов лежит вычисление некоторого количества коэффициентов ряда Фурье периодической функции :

(1)

Эта функция получается из исходного сигнала путем сглаживания, усреднения по определенным образом выбираемым сегментам, и тому подобными операциями. Характер изменения коэффициентов позволяет получить ценную информацию о свойствах сигнала ­– например, выявить скрытые периоды. Для вычисления коэффициентов существует быстрый алгоритм, требующий операций, гдеN– длина сигнала.

Важнейшим свойством коэффициентов Фурье является то, что каждый из них отражает поведениев целом. Спектр Фурье наглядно демонстрирует лишь глобальные свойства сигналов, но из него трудно извлечь информацию о локальных особенностях – резких скачках, узких пиках, и т.п.

Причина этого в строении базисных функций . Каждая из них «размазана» по всему интервалу изменения функции, поэтому коэффициенты, имеющие вид

(2)

зависят от значений функции на всем интервале.

Вейвлет-анализ– это исследование сигналапри помощи вычисления величин, аналогичных (2), но с другими «пробными функциями». Сигналинтерпретируется, как функция из , а вместо гармоникиспользуется система функций, занумерованных не целыми числами, а двумя непрерывными параметрами. Эта система получается из фиксированной функциивсевозможными сдвигами и растяжениями. Функцияназываетсявейвлетом (по-английски –wavelet; в русской математической литературе используется также терминвсплеск), если:

1. непрерывна;

2. интегрируема на всей прямой;

3. 

Вейвлет-преобразованием называется функция двух переменных

(3)

Итак, в отличие от преобразования Фурье, вейвлет-преобразование определено неоднозначно: каждому вейвлету соответствует свое преобразование. Условие С означает, что Фурье-образ вейвлета обращается в 0 при; это нужно для того, чтобы в Фурье-области вейвлет был локализован вокруг некоторой ненулевой частоты. В качестве анализирующих вейвлетов обычно выбираются функции, хорошо локализованные также и в «пространственной области» (т.е. поt). На рис.1 изображен типичный график график вейвлета и его Фурье-образа.

Рис. 1. Вейвлет в пространственной и частотной областях.

Следующие рисунки показывают, какую информацию о сигнале можно получить при помощи вейвлет-преобразования. Вертикальная ось отвечает «масштабной» переменной a(на рисунках указаны значения, так что внизу находятся точки, отвечающие малым масштабам, а вверху – большим). По горизонтальной оси – переменнаяb(совпадающая сt). Условными цветами показано распределение абсолютных значениий. Рассмотрим сначала простейшие сигналы. «Чистым гармоникам» видасоответствуют яркие горизонтальные полосы, где модульвелик. Локальным особенностям (нарушениям гладкости) отвечают вертикальные полосы, выходящие из точки, где находится особенность.

Рис. 2. График суммы двух гармоник (внизу);