Семинар 3 Ряды динамики
1. Имеются данные о численности населения и производстве меда в России:
Год |
1995 |
1996 |
1997 |
1998 |
1999 |
2000 |
2001 |
Численность населения на начало года (млн. чел.) |
147,9 |
147,6 |
147,1 |
146,7 |
146,3 |
145,6 |
144,8 |
Производство меда (тыс. т) |
57,7 |
46,2 |
48,8 |
49,6 |
51,0 |
53,9 |
- |
Найти средние уровни каждого ряда динамики.
Решение.
Численность населения на начало года (млн. чел.)
Производство меда (тыс. т)
2. В турфирме на 1 декабря по списку состояло 62 сотрудника, 12 декабря зачислено на работу 3 новых работника, 20 декабря уволилось с работы 14 человек. Найти среднее число сотрудников фирмы в декабре.
Решение.
3. В организации на 1 марта по списку состояло 236 сотрудников, 17 марта принято на работу 24 новых работника, 25 марта уволилось с работы 13 человек. Найти среднее число сотрудников организации в марте.
Решение.
4. В курортном городе численность населения на начало года составила 650 тыс. чел., а на конец года – 680 тыс. чел. В период курортного сезона численность проживавших в этом районе увеличивалась за счет приезжающих курортников:
Месяц |
апрель |
май |
июнь-август |
сентябрь |
октябрь |
Число курортников (тыс. чел.) |
75 |
120 |
210 |
145 |
75 |
Найти среднегодовую численность постоянно проживающего населения города и среднее число курортников, проживавших в городе.
Решение.
Среднегодовая численность постоянно проживающего населения города
Число курортников, проживавших в городе
5. По данным о численности населения района по состоянию на начало месяца найти среднюю численность жителей района в январе, в первом квартале и за полгода.
Дата |
01.01 |
01 02 |
01.03 |
01.04 |
01.05 |
01.06 |
01.07 |
Число жителей (тыс. чел.) |
175,4 |
176,2 |
178,0 |
176,9 |
184,3 |
196,7 |
220,0 |
Решение.
Средняя численность жителей района в январе
Средняя численность жителей района в первом квартале
Средняя численность жителей района за полгода
6. По данным о численности сотрудников предприятия на начало квартала найти среднюю численность сотрудников предприятия во втором квартале, в первом полугодии и за год.
-
Дата
01.01
01.04
01.07
01.10
01.01
Число сотрудников
230
244
220
198
180
Решение.
Средняя численность сотрудников предприятия во втором квартале
Средняя численность сотрудников предприятия в первом полугодии
Средняя численность сотрудников предприятия за год
7. Данные о прибыли предприятия в 2004-2008 годах приведены в таблице:
Год |
2004 |
2005 |
2006 |
2007 |
2008 |
Прибыль (млн. руб.) |
10,5 |
12,4 |
9,8 |
11,3 |
13,9 |
Определить: цепные и базисные показатели: абсолютные приросты, темпы роста и прироста; средние показатели ряда динамики. Сделать выводы.
Решение.
Абсолютный прирост
-
цепной
-
базисный
Темп роста
-
цепной
-
базисный
Темп прироста
-
цепной
-
базисный
Таблица 1. Расчет показателей ряда динамики
Год |
Показатель |
Абс. прирост |
Темп роста |
Темп прироста |
|||
Цеп. |
Баз. |
Цеп. |
Баз. |
Цеп. |
Баз. |
||
2004 |
10,5 |
- |
- |
100 |
100 |
- |
- |
2005 |
12,4 |
1,9 |
1,9 |
118,1 |
118,1 |
18,1 |
18,1 |
2006 |
9,8 |
-2,6 |
-0,7 |
79 |
93,3 |
-21 |
-6,7 |
2007 |
11,3 |
1,5 |
0,8 |
115,3 |
107,6 |
15,3 |
7,6 |
2008 |
13,9 |
2,6 |
3,4 |
123 |
132,4 |
23 |
32,4 |
Средний уровень ряда
Среднегодовой уровень прибыли предприятия за период 2004-2008 годы составил 11,58 млн. рублей
Средний абсолютный прирост
Среднегодовой прирост прибыли за 2004-2008 годы составил 0,85 млн. рублей
Средний темп роста
В среднем за период 2004-2008 годы рост прибыли составил 107,3%
Средний темп прироста
В среднем за период 2004-2008 годы прирост прибыли составил 7,3%
8. Имеются следующие данные Росстата о выездном туризме граждан Российской Федерации в Испанию за 2002-2006 годы.
Год |
2002 |
2003 |
2004 |
2005 |
2006 |
Число граждан РФ, выехавших с целью туризма (тыс. чел.) |
228 |
168 |
191 |
219 |
246 |
Определить: цепные и базисные показатели: абсолютные приросты, темпы роста и прироста и средние показатели ряда динамики. Сделать выводы.
Решение.
Таблица 1. Расчет показателей ряда динамики
Год |
Показатель |
Абс. прирост |
Темп роста |
Темп прироста |
|||
Цеп. |
Баз. |
Цеп. |
Баз. |
Цеп. |
Баз. |
||
2002 |
228 |
- |
- |
100 |
100 |
- |
- |
2003 |
168 |
-60 |
-60 |
73,7 |
73,7 |
-26,3 |
-26,3 |
2004 |
191 |
23 |
-37 |
113,7 |
83,8 |
13,7 |
-16,2 |
2005 |
219 |
28 |
-9 |
114,7 |
96,1 |
14,7 |
-3,9 |
2006 |
246 |
27 |
18 |
112,3 |
107,9 |
12,3 |
7,9 |
Средний уровень ряда
В среднем за 2002-2006 годы в Испанию выезжало 210,4 тыс. чел. ежегодно
Средний абсолютный прирост
Среднегодовой прирост туристов в Испании за 2002-2006 составил 4,5 тыс. чел.
Средний темп роста
В среднем за год рост туристов в Испании за 2002-2006 годы составил 110%
Средний темп прироста
В среднем за период 2002-2006 годы прирост туристов составил 10%
9. Используя взаимосвязь показателей динамики, определите уровни ряда динамики и недостающие в таблице базисные показатели динамики.
Год |
|
Базисные показатели |
||
Производство продукции (тыс.шт.) |
Абсолютный прирост (тыс.шт.) |
Темпы роста, % |
Темпы прироста, % |
|
1998 |
55,1
|
|
|
|
1999 |
|
2,8
|
|
|
2000 |
|
|
110,3
|
|
2001 |
|
|
|
14,9 |
2002 |
|
|
|
17,1 |
2003 |
|
|
121,1 |
|
Решение.
Год |
|
Базисные показатели |
||
Производство продукции (тыс.шт.) |
Абсолютный прирост (тыс.шт.) |
Темпы роста, % |
Темпы прироста, % |
|
1998 |
55,1
|
- |
100 |
- |
1999 |
57,9 |
2,8
|
105,1 |
5,1 |
2000 |
60,8 |
5,7 |
110,3
|
10,3 |
2001 |
63,3 |
8,2 |
114,9 |
14,9 |
2002 |
64,5 |
9,4 |
117,1 |
17,1 |
2003 |
66,7 |
11,6 |
121,1 |
21,1 |
10. Имеются данные о динамике продажи групповых путевок турфирмой. Восстановить недостающие показатели, используя взаимосвязь показателей.
-
Год
Число проданных путевок (шт.)
Базисные показатели
Абсолютный
прирост (шт.)
Темпы роста, %
Темпы прироста, %
1998
5000
1999
108
2000
15
2001
6000
2002
-250
2003
17
Решение.
-
Год
Число проданных путевок (шт.)
Базисные показатели
Абсолютный
прирост (шт.)
Темпы роста, %
Темпы прироста, %
1998
5000
-
100
-
1999
5400
400
108
8
2000
5750
750
115
15
2001
6000
1000
120
20
2002
4750
-250
95
-5
2003
5850
850
117
17
11. Провести выравнивание ряда динамики методом скользящей средней (трех и пятизвенной) и определить тенденцию развития по данным таблицы. Найти линейное уравнение тренда. Построить графики исходного ряда, сглаженных рядов и линии тренда. Сделать интервальный прогноз на 2009 год.
Объем продаж (млн. руб.)
1998 |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
2004 |
2005 |
2006 |
2007 |
2008 |
54 |
59 |
52 |
65 |
72 |
69 |
78 |
88 |
80 |
93 |
85 |
Решение.
Таблица 1. Выравнивание ряда путем скользящей средней
Год |
Показатель |
3-хуровневая срдняя |
5-тиуровневая средняя |
1998 |
54 |
- |
- |
1999 |
59 |
55 |
- |
2000 |
52 |
58,7 |
60,4 |
2001 |
65 |
63 |
63,4 |
2002 |
72 |
68,7 |
67,2 |
2003 |
69 |
73 |
74,4 |
2004 |
78 |
78,3 |
77,4 |
2005 |
88 |
82 |
81,6 |
2006 |
80 |
87 |
84,8 |
2007 |
93 |
86 |
- |
2008 |
85 |
- |
- |
Уравнение регрессии
Параметры
и
определим с помощью метода наименьших
квадратов
Таблица 2. Расчет вспомогательных значений для определения параметров модели
t |
Y |
Yt |
t2 |
Yp |
1 |
54 |
54 |
1 |
52,87 |
2 |
59 |
118 |
4 |
56,75 |
3 |
52 |
156 |
9 |
60,63 |
4 |
65 |
260 |
16 |
64,51 |
5 |
72 |
360 |
25 |
68,39 |
6 |
69 |
414 |
36 |
72,27 |
7 |
78 |
546 |
49 |
76,15 |
8 |
88 |
704 |
64 |
80,03 |
9 |
80 |
720 |
81 |
83,91 |
10 |
93 |
930 |
100 |
87,79 |
11 |
85 |
935 |
121 |
91,67 |
Итого 66 |
795 |
5197 |
506 |
|
Т. о., получили модель
Рис. 1 Графики исходных данных и рассчитанных линий выравнивания
Прогнозное значение
2009 год:
Интервальный прогноз
Таблица 3. Расчет вспомогательных значений для определения интервального прогноза
t |
Y |
Yp |
Y-Yp |
(Y-Yp)2 |
|
|
1 |
54 |
52,87 |
1,13 |
1,2769 |
-5 |
25 |
2 |
59 |
56,75 |
2,25 |
5,0625 |
-4 |
16 |
3 |
52 |
60,63 |
-8,63 |
74,4769 |
-3 |
9 |
4 |
65 |
64,51 |
0,49 |
0,2401 |
-2 |
4 |
5 |
72 |
68,39 |
3,61 |
13,0321 |
-1 |
1 |
6 |
69 |
72,27 |
-3,27 |
10,6929 |
0 |
0 |
7 |
78 |
76,15 |
1,85 |
3,4225 |
1 |
1 |
8 |
88 |
80,03 |
7,97 |
63,5209 |
2 |
4 |
9 |
80 |
83,91 |
-3,91 |
15,2881 |
3 |
9 |
10 |
93 |
87,79 |
5,21 |
27,1441 |
4 |
16 |
11 |
85 |
91,67 |
-6,67 |
44,4889 |
5 |
25 |
Итого 66 |
|
|
|
258,6459 |
|
110 |
Среднее 6 |
|
|
|
|
|
|
С вероятностью 0,95 прогнозное значение попадает в интервал от 81,13 млрд. руб. до 109,97 млрд. руб.
12. Провести выравнивание ряда динамики методом скользящей средней (трех и пятизвенной) и определить тенденцию развития по данным таблицы. Найти линейное уравнение тренда. Построить графики исходного ряда, сглаженных рядов и линии тренда. Сделать интервальный прогноз на 2009 год.
Объем продаж (млн. руб.)
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
2004 |
2005 |
2006 |
2007 |
2008 |
30,5 |
32,6 |
27,4 |
24,6 |
26,5 |
22,2 |
19,3 |
18,5 |
20,4 |
17,3 |
Решение.
Таблица 1. Выравнивание ряда путем скользящей средней
Год |
Показатель |
3-хуровневая срдняя |
5-тиуровневая средняя |
1999 |
30,5 |
- |
- |
2000 |
32,6 |
30,2 |
- |
2001 |
27,4 |
28,2 |
28,32 |
2002 |
24,6 |
26,2 |
26,66 |
2003 |
26,5 |
24,4 |
24 |
2004 |
22,2 |
22,7 |
22,22 |
2005 |
19,3 |
20 |
21,38 |
2006 |
18,5 |
19,4 |
19,54 |
2007 |
20,4 |
18,7 |
- |
2008 |
17,3 |
- |
- |
Уравнение регрессии
Параметры и определим с помощью метода наименьших квадратов
Таблица 2 Расчет вспомогательных значений для определения параметров модели
t |
Y |
Yt |
t2 |
Yp |
1 |
30,5 |
30,5 |
1 |
26,9 |
2 |
32,6 |
65,2 |
4 |
26,24 |
3 |
27,4 |
82,2 |
9 |
25,58 |
4 |
24,6 |
98,4 |
16 |
24,92 |
5 |
26,5 |
132,5 |
25 |
24,26 |
6 |
22,2 |
133,2 |
36 |
23,6 |
7 |
19,3 |
135,1 |
49 |
22,94 |
8 |
18,5 |
148 |
64 |
22,28 |
9 |
20,4 |
183,6 |
81 |
21,62 |
10 |
17,3 |
173 |
100 |
20,96 |
Итого 55 |
239,3 |
1181,7 |
385 |
|
Т. о., получили модель
Рис. 1 Графики исходных данных и рассчитанных линий выравнивания
Прогнозное значение
2009 год:
Интервальный прогноз
Таблица 3. Расчет вспомогательных значений для определения интервального прогноза
t |
Y |
Yp |
Y-Yp |
(Y-Yp)2 |
|
|
1 |
30,5 |
26,9 |
3,6 |
12,96 |
-4,5 |
20,25 |
2 |
32,6 |
26,24 |
6,36 |
40,4496 |
-3,5 |
12,25 |
3 |
27,4 |
25,58 |
1,82 |
3,3124 |
-2,5 |
6,25 |
4 |
24,6 |
24,92 |
-0,32 |
0,1024 |
-1,5 |
2,25 |
5 |
26,5 |
24,26 |
2,24 |
5,0176 |
-0,5 |
0,25 |
6 |
22,2 |
23,6 |
-1,4 |
1,96 |
0,5 |
0,25 |
7 |
19,3 |
22,94 |
-3,64 |
13,2496 |
1,5 |
2,25 |
8 |
18,5 |
22,28 |
-3,78 |
14,2884 |
2,5 |
6,25 |
9 |
20,4 |
21,62 |
-1,22 |
1,4884 |
3,5 |
12,25 |
10 |
17,3 |
20,96 |
-3,66 |
13,3956 |
4,5 |
20,25 |
Итого 55 |
|
|
|
106,224 |
|
82,5 |
Среднее 5,5 |
|
|
|
|
|
|
С вероятностью 0,95 прогнозное значение попадает в интервал от 10,36 млн. руб. до 30,24 млн. руб.
13. На основании данных о динамике выезда российских граждан за границу в 1999-2007 годах найти линейное уравнение тренда. Построить графики исходного ряда и линии тренда. Сделать прогноз на 2008 год.
Число выездов российских граждан за границу с целью туризма (сто тысяч поездок)
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
2004 |
2005 |
2006 |
2007 |
28 |
45 |
42 |
50 |
56 |
66 |
68 |
78 |
94 |
Решение.
Уравнение регрессии
Параметры и определим с помощью метода наименьших квадратов
Таблица 1. Расчет вспомогательных значений для определения параметров модели
t |
Y |
Yt |
t2 |
Yp |
1 |
28 |
28 |
1 |
29,84 |
2 |
45 |
90 |
4 |
37,02 |
3 |
42 |
126 |
9 |
44,2 |
4 |
50 |
200 |
16 |
51,38 |
5 |
56 |
280 |
25 |
58,56 |
6 |
66 |
396 |
36 |
65,74 |
7 |
68 |
476 |
49 |
72,92 |
8 |
78 |
624 |
64 |
80,1 |
9 |
94 |
846 |
81 |
87,28 |
Итого 45 |
527 |
3066 |
285 |
|
Т.
о., получили модель
Рис. 1 Графики исходных данных и модели
Прогнозное значение
2008 год:
