§ 4.3. Частотные характеристики цифровых фильтров

До сих пор мы не рассматривали такую важную характеристику цифрового фильтра, как частотная. В какой-то мере роль частотной характеристики играет системная функция. Однако использовать только системную функцию не всегда удобно, особенно при рассмотрении цифровых систем обработки сигналов, аналогичных фильтрам верхних частот, фильтрам нижних частот, полосовым и режекторным фильтрам. Как известно, для описания аналоговых фильтров часто используют частотную характеристику (частотный коэффициент передачи). Поскольку система цифровой обработки сигналов должна выполнять те же функции, что и аналоговый фильтр, для такой системы в целом и для входящих в нее цифровых фильтров также следует определить частотную характеристику.

Частотная характеристика (частотный коэффициент пе­редачи) аналогового фильтра может быть определена как отношение спектра сигнала на выходе фильтра при некотором воздействии к спектру входного сигнала :

В качестве входного сигнала удобно использовать обобщенный гармонический сигнал e^iwt, тогда сигнал на выходе имеет вид .

Для определения частотной характеристики цифрового фильтра на его вход (точнее говоря, на вход дискретного фильтра, так как эффекты квантования мы не учитываем) подают дискретизированный сигнал f(kT) = . Тогда сигнал на выходе будет иметь вид .

Частотная характеристика цифрового фильтра имеет некоторые специфические свойства. Главное из них — это периодичность. На вход цифрового фильтра подают дискре-тизированный сигнал f1 (kT) с интервалом дискретизации Т; для конкретного типа фильтра интервал Т—фиксированная величина. Спектр входного дискретизированного сигнала представляет собой периодическую функцию (см. рис. 2.4) с периодом 2π/T:

сигнал на выходе цифрового фильтра также представляет собой последовательность отсчетов, взятых с интервалом Т. Его спектр тоже описывается периодической функцией с тем же периодом 2π/T:

б)

в)

На рис.4.12 изображены спектры сигналов на входеи выходе цифрового фильтра. По определению отношение определяет частотную характеристику цифрового фильтра. Нетрудно видеть,

Рис. 4.12. Спектр сигнала на входе (а) и на выходе (б) цифрового фильтра, частотная характеристика (в) цифрового фильтра

что также является периодической функцией с периодом 2π/Т. Центральная часть частотной характеристики при—π/Т<ω0<π/Т повторяет частотную характеристику фильтра-прототипа, аналогичного данному цифровому фильтру.

Рассмотрим цифровой фильтр общего вида, который описывается разностным уравнением (4.12):

Пусть входной сигнал х(пТ) . Тогда, по определению, сигнал на выходе фильтра у(пТ) = . Подставляя выражения для х(пТ) и у(пТ) в уравнение (4.12), получим

откуда

(4.15)

Выражение (4.15) совпадает с выражением (4.14) для системной функции фильтра, если заменить на . Таким образом, установлена- простая связь между частотной характеристикой фильтра и его системной функцией:

(4.16)

Из выражения (4.16) следуют многие свойства частот­ной характеристики цифровых фильтров, в частности пе­риодичность. Соотношение (4.16) позволяет определить положение нулей и полюсов частотной характеристики по известному положению особых точек системной функции H(z). И наконец, формула (4.16) позволяет записать связь между частотной характеристикой цифрового фильтра и его импульсной характеристикой. Заменяя в формуле (4.5) z на , получим

(4.17)

Таким образом, частотная характеристика цифрового фильтра связана с импульсной характеристикой соотношением, подобным дискретному преобразованию Фурье (3.3).

В качестве примера рассмотрим цифровой фильтр 1-го порядка, аналогичный RС-цепи, с импульсной характеристикой g(kT) =. Системная функция такого фильтра определяется выражением

Заменяя на , получим выражение для частотной характеристики

откуда найдем амплитудно-частотную -характеристику

Рис. 4.13 Частотная характеристика цифрового фильтра 1-го порядка, эквивалентного RC-цепи

ифазо-частотную характеристику цифрового фильтра

На рис. 4.13 приведен график амплитудно-частотной характеристики цифрового фильтра при Т/τ= 1 и Т/τ =0,1- При — π/Т<ω<π/Т график частотной характеристики цифрового фильтра почти совпадает с частотной характеристикой RС-цепи.