Свойства цифровых фильтров

1. Цифровой фильтр называется стационарным, если его параметры не изменяются во времени, т. е. предварительно невозбужденный фильтр, в котором x(n) = y(n) = 0 при всех n < 0, называют стационарным тогда и только тогда, когда для всех возможных воздействий.

2. Цифровой фильтр называют линейным тогда и только тогда, когда для всехa и b – произвольных постоянных и для всех допустимых воздействий x₁(n) и x₂(n).

3. Цифровой фильтр называют физически реализуемым, если величина отклика при n = n₀ зависит только от значений входной последовательности с номерами n £ n₀. Это означает, что импульсная характеристика h(n) равна нулю при n < 0.

4. Цифровой фильтр называется устойчивым тогда и только тогда, когда реакция на ограниченное воздействие ограничена, т. е. если из при всехn следует при всехn. Необходимым и достаточным условием устойчивости фильтра является следующее требование к его импульсной характеристике:

.

Представление цифрового фильтра в виде разностного уравнения

Цифровой фильтр в общем виде представляется следующим образом как разностное уравнение:

, (1.2)

где a_jиb_i– вещественные или комплексные коэффициенты.

Цифровые фильтры принято делить на два класса: нерекурсивные (НФ) и рекурсивные (РФ). Если в (1.2) все коэффициенты a_j= 0, что соответствует отсутствию обратной связи, то фильтр является нерекурсивным и описывается уравнением

. (1.3)

Если в (1.3) хотя бы один из коэффициентов a_j0, то фильтр является рекурсивным и представляет собой устройство с обратной связью.

Таким образом, для рекурсивных фильтров соотношение между входной последовательностью {x(n)} и откликом фильтра {y(n)} может быть записано следующим образом:

, (1.4)

т. е. текущий отсчет отклика y(n) определяется не только текущим и предшествующим значениями входной последовательности, но и предшествующими отсчетами отклика.

В нерекурсивных фильтрах связь между входной последовательностью и откликом имеет вид

,

т. е. текущий отсчет отклика зависит от текущего и предшествующих значений входной последовательности.

Для анализа систем, описываемых разностными уравнениями, широко применяется z-преобразование. Прямоеz-преобразованиеX(z) последовательностиx(n) определяется формулой

. (1.5)

В разностных уравнениях существенной операцией является единичная задержка, описываемая оператором 1/z, илиz^–1(т. е. для последовательностиx(n–1)z-преобразование будет иметь видz^–1X(z).

Передаточной (системной) функцией H(z) цифрового фильтра называется отношениеz-преобразований выходногоY(z) и входногоX(z) сигналов фильтра. Для рекурсивного и нерекурсивного фильтров из (1.3) и (1.4), используя (1.5), получаем:

Комплексная частотная характеристика цифрового фильтра, представленного в виде разностного уравнения (1.2), может быть получена подстановкой в выражение для передаточной функции значения . Для рекурсивного фильтра общего вида частотная характеристика будет иметь вид

.

Аналогично, для нерекурсивного фильтра имеем:

.

Бих-фильтры. Методы синтеза

Фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтром) называют фильтр, длина импульсной характеристики которого не ограничена справа или слева.

Будем рассматривать БИХ-фильтры при условии, что они являются физически реализуемыми и устойчивыми. Для импульсных характеристик таких фильтров h(n) справедливы следующие ограничения:

Наиболее общая форма записи z-преобразования импульсной характеристики БИХ-фильтров имеет вид

.

Предположим, что M £N. Системы, удовлетворяющие этому условию, называют системамиN-го порядка. Решение задачи расчета фильтров сводится к нахождению значений его коэффициентовa_iиb_i, обеспечивающих аппроксимацию заданных характеристик фильтра. Таким образом, задача расчета фильтра в значительной степени сводится к задаче аппроксимации и может быть решена чисто математическими методами.

Наиболее распространенным методом расчета цифровых БИХ-фильтров является метод дискретизации аналогового фильтра, удовлетворяющего заданным требованиям. При расчете цифровых фильтров верхних частот, полосовых и режекторных, используются два подхода, представленные на рисунке.

В первом случае нормализованный аналоговый фильтр предварительно преобразуется в другой аналоговый фильтр, из которого путем дискретизации рассчитывается фильтр с заданными характеристиками. Во втором случае нормализованный фильтр нижних частот дискретизуется сразу же, а затем преобразованием его полосы частот формируется цифровой фильтр с заданными характеристиками.