Сжатие данных, звука и изображений

Глава 4- Вейвлетные методы

исходном образе, таких как наложения, затухания, «звоны») в ре­ конструированном образе. По этой причине преобразование Хаара не является удовлетворительным, и основные исследования в этой области прежде всего направлены на поиски улучшенных фильтров.

На рис. 4.22 изображена общая схема банка фильтров, включа­ ющая N частотных фильтров и 3 стадии процесса преобразования. Обратите внимание, что выход частотного фильтра Щ каждой ста­ дии направляется на вход следующей стадии для дальнейшего раз­ деления, а комбинированный выход банка синтеза 3-ей и 2-ой стадий посылается наверх обратного фильтра банка синтеза предшествую­ щей стадии.

4.5. Нахождение коэффициентов фильтра

После рассмотрения общих операций над фильтрами возникает сле­ дующий вопрос: «Как находить коэффициенты фильтров?» Полный ответ на этот вопрос весьма непрост и выходит за рамки нашего из­ ложения (см., например, [Akansu, Haddad 92]). В этом параграфе мы постараемся дать некоторое представление об основных правилах и методах вычисления коэффициентов различных банков фильтров.

Пусть имеется два прямых фильтра HQ^ HI И два обратных филь­ тра FQ, Fi, которые состоят из N отсчетов (число N предполагается четным). Обозначим их коэффициенты через

ho = (ho{0),ho{l),...,ho(N-l)), h, = (hi{0),hi(l),...,hi{N-l)),

/o = ( / o ( 0 ) , / o ( l ) , . . . , / o ( ^ - l ) ) , / i = ( / i ( 0 ) , / i ( l ) , . . . , / i ( 7 V - l ) ) .

Четыре вектора ho,hi, fо и /i являются импульсными откликами

четырех фильтров. Вот простейшие правила, позволяющие выбрать численные значения для этих векторов:

1.Нормализация: Вектор ho имеет единичную длину.

2.Ортогональность: Для любого целого числа г, удовлетворяющего неравенству 1 < г < iV/2, вектор, состоящий из первых 2г элементов ho, должен быть ортогонален вектору, составленному из последних 2г элементов того же вектора /ZQ.

3.Вектор /о состоит из компонентов вектора /го, записанных в обратном порядке.

4.Вектор hi является копией /о, но с обратными знаками у ком­ понент на нечетных позициях (первой, третьей и т.д.). Формально

252Глава 4- Вейвлетные методы

аправила 3-5 записываются в виде соотношений

/о = (/io(7),/io(6),/io(5),/io(4),/io(3),/io(2),/io(l),/io(0)),

hi = (-/1о(7),/1о(6),-До(5),/го(4),-/1о(3),/1о(2),-/1о(1),/го(0)), /i = (/io(0),-/io(l),/io(2),-/io(3),/io(4),-/io(5)>o(6),-/io(7)).

Восемь допустимых коэффициентов приведены в табл. 4.23 (они образуют фильтр Добеши D8).

.230377813309 .714846570553 .630880767930 -.027983769417 -.187034811719 .030841381836 .032883011667 -.010597401785

Табл. 4.23. Коэффициенты фильтра Добеши с 8 отсчетами.

Для задания N коэффициентов для каждого из фильтров HQ, if], Fo и Fi необходимо знать коэффициенты с ho(0) по Но(М — 1). По­ этому следует задать N уравнений для нахождения этих величин. Однако правила 1 и 2 дают только N/2 уравнений. Значит, необхо­ димо добавить новые условия для однозначного определения чисел с ho(0) по ho{N — 1). Вот некоторые примеры таких условий:

Фильтр пропускания низких частот: Мы хотим, чтобы фильтр

Щ пропускал только низкие частоты, поэтому имеет смысл потре­ бовать, чтобы частотный отклик Но{ш) был равен нулю для самой высокой частоты о; = тг.

Минимальный фильтр фазы: Это условие означает, что нули комплексной функции Ho(z) должны лежать на единичной окруж­ ности комплексной плоскости или вне ее.

Контролируемая колинеарность: Линейность фазового отклика можно контролировать с помощью нахождения минимума суммы

Y^iho(i)-ho(N~l-i)f.

i

Другие условия обсуждаются в [Akansu, Haddad 92].

4.6. Преобразование DWT

Информация, которая производится и анализируется в повседнев­ ной жизни, является дискретной. Она чаще поступает в виде чисел, а не в форме каких-то непрерывных функций. Поэтому на практике чаще применяются дискретные вейвлетные преобразования (DWT).

4.6. Преобразование DWT 253^

Конечно, непрерывные вейвлетные преобразования (CWT, см., на­ пример, [Lewalle 95] и [Rao, Bopardikar 98]) также интенсивно изу­ чаются, поскольку это позволяет лучше понять действие DWT.

Преобразование DWT использует свертку, однако из опыта из­ вестно, что качество преобразований такого типа сильно зависит от двух вещей: от выбора масштабирующих множителей и временных сдвигов, а также от выбора вейвлета.

На практике преобразование DWT вычисляется с помощью мас­ штабирующих множителей, которые равны отрицательным степе­ ням двойки, и временных сдвигов, которые равны положительным степеням числа 2. На рис. 4.24 показана так называемая двухчлен­ ная решетка^ которая иллюстрирует такой выбор. Используемые вейвлеты порождают ортонормальные (или биортонормальные) ба­ зисы.

23 f

22

Рис. 4.24. Двухчленная решетка. Связь масштаба со сдвигами по времени.

Основное направление исследования веивлетов состоит в поисках семейств веивлетов, которые образуют ортогональный базис. Сре­ ди этих веивлетов предпочтение отдается веивлетам с компактным носителем, поскольку они позволяют делать преобразования DWT с конечным импульсным откликом (FIR, finite impulse response).

Самый простой способ описания вейвлетных преобразований ис­ пользует произведение матриц. Этот путь уже был продемонстри­ рован в § 4.2.1. Преобразование Хаара зависит от двух коэффици­ ентов фильтра Со и ci, которые равны 1/\/2 « 0.7071. Наименьшая матрица, которую можно построить в этом случае, равна

Глава 4- Вейвлетные методы

( 1 - 1 )/ v ^ .

Эта матрица имеет размер 2x2. С ее помощью порождаются два ко­ эффициента преобразования: среднее и разность. (Заметим, что эти среднее и разность не равны в точности полусумме и полуразности, поскольку вместо 2 используется знаменатель у/2. Более точными терминами были бы, соответственно, выражения «грубые детали» и «тонкие детали»). В общем случае, DWT может использовать любое число фильтров, но все они вычисляются с помощью этого метода независимо от вида фильтров.

Сначала мы рассмотрим один из самых популярных вейвлетов, а именно вейвлет Добеши, который принято обозначать D4. Из это­ го обозначения видно, что он основан на четырех коэффициентах

Если эту матрицу применить к вектору-столбцу исходных данных [х\.,Х2'>.'. ,Хп): ТО ее верхняя строка даст взвешенную сумму s\ =

=CQXI +cia;2 + С2а::з + сза;4- Третья строка матрицы определит сумму 52 = со^з -\- ciX4 + С2Ж5 + С3Ж6, И все строки с нечетными номерами зададут аналогичные взвешенные суммы Si. Такие суммы совпада­ ют со свертками исходного вектора Xi и четырех коэффициентов фильтра. На языке вейвлетов все они называются гладкими коэффи­ циентами, а вместе они именуются сглаэюивающим фильтром Н.

Аналогично вторая строка матрицы W порождает величину d\ =

=c^xi — С2Х2 -h С1Х3 — С0Х4, а все остальные четные строки матрицы определяют подобные свертки. Каждое число di называется деталь­ ным коэффициентом, а все вместе они образуют фильтр G. Фильтр

G не является сглаживающим. На самом деле, его коэффициенты по­ добраны так, чтобы фильтр G выдавал на выход маленькие числа,

4-6. Преобразование DWT

когда данные Xi коррелированы. Все вместе, Н и G называются

квадратурными зеркальными фильтрами (QMF, quadrature mirror filters).

Таким образом вейвлетное преобразование любого изображения представляет собой прохождение исходного образа через фильтр QMF, который состоит из низкочастотного фильтра (Н) и высо­ кочастотного фильтра (G).

Если размер матрицы W равен п х п, то она порождает п/2 глад­ ких коэффициентов Si и п/2 детальных коэффициентов di. Транспо­

Можно показать, что матрица W будет ортогональной, если че­ тыре порождающие ее коэффициента удовлетворяют соотношени­ ям: CQ + Cj 4- С2 + Сз = 1, С2Со + С3С1 = 0. Еще два уравнения для вычисления коэффициентов фильтра имеют вид: сз — С2 Ч- ci — со = О и Осз — 1с2 + 2ci — Зсо = 0. Они получаются из условия равенства нулю первых двух моментов последовательности (сз, —C2,ci, —со). Решением этих четырех уравнений служат следующие величины:

(4.12) Умножение на матрицу W очень просто и наглядно. Однако этот метод не практичен, так как W должна иметь такой же размер, что и исходное изображение, которое обычно велико. Если взглянуть на матрицу Ж, то видна ее регулярная структура, поэтому нет необхо­ димости строить ее целиком. Достаточно хранить лишь ее верхнюю строку. На самом деле, достаточно иметь массив, состоящий из че­

тырех коэффициентов фильтра.

Глава 4- Вейвлетные методы

function wcl=fwt1(dat,coarse,filter)

*/. Одномерное прямое дискретное вейвлетное преобразование У, dat - это вектор-строка размера 2"п,

У, coarse - это самый грубый уровень преобразования У, (за1метим, что coarse должен быть <<п)

У, используется ортогональный квадратурный фильтр, У, длина которого должна быть <2'"(coarse+l) n=length(dat); j=log2(n); wcl=zeros(l,n); beta=dat; for i=j-l:-l:coarse

alfa=HiPass(beta,filter); wcl((2'^(i)+l) : (2~(i+l)))=alfa; beta=LoPass(beta,filter) ;

end

wcKl: (2''coarse))=beta;

function d=HiPass(dt,filter) У, пропускает высокие частоты d=iconv(mirror(filter),lshift(dt));

y, iconv - функция свертки из пакета Matlab n=length(d); d=d(l:2:(n-1));

function d=LoPass(dt,filter) У, пропускает низкие частоты d=aconv(filter,dt);

У, aconv - это функция свертки из Matlab с обращенным У, во времени фильтром

n=length(d); d=d(l;2:(n-l));

function sgn=mirror(filt)

У* возвращает коэффициенты фильтра с обратными знгосами sgn=-((-1).-(1:length(filt))).*filt;

Рис. 4.25. Одномерное прямое DWT (Matlab).

На рис. 4.25 показана программа Matlab, которая делает эти вычисления. Функция f w t l ( d a t , c o a r s e , f i l t e r ) , аргументом dat которой является исходный вектор из 2^ элементов, а аргументом f i l t e r служит фильтр, вычисляет первые грубые уровни дискрет­ ного веивлетного преобразования и записывает их в переменную coarse.

Простой тест для функции fwtl:

п=16; t=(l:n)./п; dat=sin(2*pi*t)

filt= [0.4830 0.8365 0.2241 -0.1294]; wc=fwtl(dat,l,filt).

На рис. 4.26 приведена программа одномерного дискретного веи­ влетного преобразования, которое вычисляется с помощью функции

4^6. Преобразование DWT

i w t K w c , c o a r s e , f i l t e r ) . Ниже приведен простой тест для ее про­ верки.

function dat=iwt1(wc,coarse,filter)

*/• Одномерное обратное дискретное вейвлетное преобразование dat=wc(l:2~coarse);

n=length(wc); j=log2(n); for i=coarse:j-l

dat=ILoPass(dat,filter)+ ...

IHiPass (wc((2-^ (i)+l) : (2~ (i+1))),filter); end

function f=ILoPass(dt,filter) f=iconv(filter,AltrntZro(dt));

function f=IHiPass(dt,filter) f=aconv(mirror(filter),rshift(AltrntZro(dt)));

function sgn=mirror(filt)

*/• возвращает коэффициенты фильтра с обратными знаками sgn=-((-1).*(1:length(filt))).*filt;

function f=AltrntZro(dt)

п =length(dt)*2; f =zeros(l,n); f(l:2;(n-l))=dt;

Рис. 4.26. Одномерное обратное DWT (Matlab).

Простой тест для функции iwtl:

n=16; t=(l:n) . /n; dat=sin(2*pi*t)

filt= [0.4830 0.8365 0.2241 -0.1294]; wc=fwtl(dat,l,filt) rec=iwt1(wc,1,filt)

Для читателей, которые потрудились разобраться с одномерны­ ми функциями fwtl и iwtl (рис. 4.25 и 4.26), мы приводим двумер­ ные аналоги этих функций fwt2 и iwt2 (см. рис. 4.27 и 4.28) для которых также приведена простая тестовая программа.

Кроме семейства фильтров Добеши (между прочим, вейвлет Хаара порождает фильтр Добеши степени 2) существует множество других семейств веивлетов, имеющие другие полезные свойства. Вот некоторые известные фильтры: фильтр Белкина, фильтр Коифмана, симметричный фильтр.

4-6. Преобразование DWT

function dat=iwt2(wc,coarse,filter)

*/« Двумерное обратное вейвлетное преобразование У, n=length(wc) ; j=log2(n);

dat=wc;

nc=2"(coarse+l); for i=coarse:j-1,

top=(nc/2+1):nc; bot=l:(nc/2); all=l:nc; for ic=l:nc, dat(all,ic)=ILoPass(dat(bot,ic)',filter)' +IHiPass(dat(top,ic)',filter)';

end 7, ic for ir=l:nc,

dat(ir,all)=ILoPass(dat(ir,bot),filter)

+IHiPass(dat(ir,top),filter); end y» ir

nc=2*nc; end y, i

function f=sILoPass(dt,filter) f=iconv(filter,AltrntZro(dt));

function f=IHiPass(dt,filter) f=aconv(mirror(filter),rshift(AltrntZro(dt))); function sgn=mirror(filt)

X возвращает коэффициенты фильтра с обратными знаками sgn=-((-1).~(1:length(filt))).*filt;

function f=AltrntZro(dt)

y, возвращает вектор длины 2*n из нулей

У, размещенных между последовательными значениями п =length(dt)*2; f =zeros(l,n); f(l:2:(n-l))=:dt;

Рис. 4.28. Двумерное обратное DWT (Matlab).

Простой тест для функций fwt2 и iwt2:

filename='house128'; dim=128;

fid=fopen(filename,'r');

if fid==-l dispCfile not found')

else img=fread(fid,[dim,dim])'; fclose(fid); end

filt= [0.4830 0.8365 0.2241 -0.1294]; fwim=fwt2(img,4,filt) ;

figure(l), imagesc(fwim), axis off, axis square rec=iwt2(fwim,4,filt);

figure(2), imagesc(rec), axis off, axis squaure

Вейвлет Добеши D4 строится по четырем коэффициентам, при­ веденным в (4.12). Аналогично, вейвлет D6 имеет шесть коэффици­ ентов. Их можно найти, решив систему из шести уравнений, три