4. Транспортная задача
Задача 4. В
таблице даны запасы (в тоннах) однородного
сыпучего груза у поставщиков (
,
,
),
спрос на него потребителей (
,
,
,
),
а также матрица тарифов перевозок,
элементы которой
равны стоимостям перевозок одной тонны
груза из пункта отправления
в пункт назначения
(в условных денежных единицах)
|
|
|
|
|
|
|||||||
450 |
250 |
100 |
100 |
|
||||||||
|
200 |
|
6 |
|
4 |
|
4 |
|
5 |
|||
|
|
|
|
|||||||||
|
300 |
|
6 |
|
9 |
|
5 |
|
8 |
|||
|
|
|
|
|||||||||
|
400 |
|
8 |
|
2 |
|
10 |
|
6 |
|||
|
|
|
|
|||||||||
Требуется:
1) Составить математическую модель транспортной задачи, заданной таблицей.
2) Найти оптимальный план перевозок груза, минимизирующий общую стоимость всех перевозок.
Решение:
1) Для составления математической модели данной транспортной задачи сначала введем переменные:
- количество единиц
(тонн) груза, планируемое к перевозке
из пункта отправления
в пункт назначения
(
).
Затем запишем выражение целевой функции, имеющей смысл суммарной стоимости всех перевозок:
.
Далее составим систему ограничений на переменные, исходя из следующих требований:
- все запасы груза должны быть вывезены;
- все потребности в грузе должны быть удовлетворены. Получаем следующую систему уравнений:
По смыслу задачи все переменные должны быть неотрицательными:
(
)
Таким образом, приходим к следующей математической формулировке данной транспортной задачи:
Найти такие значения
переменных
,
которые удовлетворяют составленной
выше системе линейных уравнений и
неравенств и доставляют наименьшее
значение линейной целевой функции
.
Задача имеет решение, так как выполнено условие баланса: суммарные запасы груза равны суммарным потребностям.
2) Основными этапами решения поставленной транспортной задачи являются следующие:
- определение начального опорного плана;
- проверка полученного начального опорного плана на оптимальность;
- построение последовательных приближений к оптимальному решению (в случае, если начальный опорный план не является оптимальным).
Для нахождения начального опорного плана применим метод Фогеля. Приведем алгоритм метода Фогеля, следуя работе [4].
"По каждой строке и по каждому столбцу начальной транспортной таблицы определяют разность между двумя наименьшими тарифами и записывают ее соответственно справа и снизу от транспортной таблицы. Из этих разностей выбирают наибольшую, и отмечают ее, заключая в квадрат.
В строке или
столбце, где имеется наибольшая разность,
находят клетку
с наименьшим тарифом и загружают ее
значением
.
В строке или столбце с нулевым остатком
груза подчеркивают все незанятые клетки.
Далее описанный процесс повторяют, при этом учитывают только оставшиеся запасы и потребности (заявки). Занятые и прочеркнутые клетки не учитываются при последующих шагах".
Обычно начальный опорный план, полученный методом Фогеля. Будет оптимальным или близким к оптимальному.
Используя описанный алгоритм, получим следующий начальный опорный план:
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
450 |
250 |
100 |
100 |
|
|
|
||||||
|
200 |
100 |
6 |
- |
4 |
100 |
4 |
- |
5 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
300 |
300 |
6 |
- |
9 |
- |
5 |
- |
8 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
400 |
50 |
8 |
250 |
2 |
- |
10 |
100 |
6 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
||||
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
||||
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
||||
В результате реализации метода Фогеля все переменные оказываются разбитыми на 2 группы:
- базисные переменные
:
,
,
,
,
,
,
которые соответствуют ненулевым
(загруженным) клеткам;
- свободные
переменные
:
,
,
,
,
,
,
которые соответствуют нулевым
(прочеркнутым) клеткам.
Проверим полученный методом Фогеля начальный опорный план на оптимальность. Для этого применим метод потенциалов, краткое изложение которого содержится, например, в работе [5].
Введем так называемые
потенциалы
пунктов отправления
(
)
и потенциалы
пунктов назначения
(
).
Потенциалы найдем, решая систему линейных
уравнений
,
где индексы
и
соответствуют группе базисных переменных
.
В данном случае система уравнений для потенциалов имеет вид:
Составленная
система содержит 6 уравнений и 7
неизвестных. Ранг системы равен
.
Следовательно, одна из неизвестных
является свободной. Выберем в качестве
этой переменной
и примем ее равной нулю:
.
Последовательно решая систему, найдем потенциалы всех поставщиков и потребителей:
,
,
,
,
,
,
.
Далее найдем так
называемые косвенные стоимости
в соответствии с формулой
,
где индексы
и
соответствуют группе свободных переменных
:
,
,
,
,
,
.
Затем вычисляем
разности стоимостей
(оценки свободных клеток) по формуле
.
Получим следующие значения оценок:
,
,
, 
,
,
.
Так как все оценки свободных клеток являются неотрицательными, то начальный опорный план, полученный методом Фогеля, является оптимальным.
Таким образом, искомый оптимальный план перевозок выражается равенствами
,
,
, 
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Наименьшая суммарная стоимость всех перевозок, соответствующая найденному оптимальному плану, равна
(усл. ден. ед.)