11. Як ви розумієте термін «параметри порядку»? Наведіть приклади.

Параметри порядку й принцип підпорядкування належать до числа найбільш фундаментальних понять синергетики. З економічного погляду принцип підпорядкування означає, що можна знайти невелику кількість змінних (можливо, агрегованих, перетворених тощо), які визначають динаміку всієї економічної системи в околі особливої точки, а решта змінних залежить від них.

12. Що характеризують показники Ляпунова?

Показники Ляпунова — характеризують швидкість розбігання фазових траєкторій. Вони визначають інтервал часу, на який може бути зроблено прогноз (глибину горизонту прогнозу).

13. Чим відрізняється фрактальна розмірність атракторів від імовірніс­ної розмірності?

Фрактальна розмірність дивних атракторів буде дробовою. Зауважимо, що у формулі для обчислення фрактальної розмірності однаково важливі всі непорожні n-вимірні куби. Це істотний недолік, оскільки дивні атрактори просторово неоднорідні, а деякі області атрактора відвідуються траєкторією частіше за інші. Отже, необхідно знати доволі довгу траєкторію, щоб гарантувати відвідування навіть малоймовірних кубів. З цією метою кожний непорожній куб доводиться зважувати за допомогою відносної частоти, з якою він відвідується типовою траєкторією. Розмірності, які визначаються з урахуванням імовірності відвідування траєкторією різних областей атрактора у фазовому просторі, називають імовірнісними.

14. Доведіть, що інформаційна, кореляційна та фрактальна розмірності є частинним випадком розмірності Реньйі.

При q = 0 розмірність Реньї збігається з фрактальною розмірністю, при q = 1 — з інформаційною, при q = 2 — з кореляційною розмірністю. Для цілих q розмірність Реньї має таку інтерпретацію: великі додатні q визначають області атрактора, які відвідуються найчастіше, а великі від’ємні значення визначають області, що майже не відвідуються.

15. Опишіть сценарій Фейгенбаума переходу до хаосу.

 Під сценарієм переходу до хаосу розуміють послідовність біфуркацій при зміні деякого керуючого параметра  , що призводить до встановлення в системі хаотичного руху.

 Нехай при   на фазовому портреті існує стійка стаціонарна точка (стійкий фокус або вузол). Спільним першим кроком усіх сценаріїв переходу до хаосу є те, що при зростанні  відбувається біфуркація Андронова - Хопфа - система втрачає рівновагу, відбувається її самозбудження. Подальші біфуркації визначаються конкретним сценарієм.

 Слід вказати, що в реальних системах звичайно існує декілька керуючих параметрів, тому до того самого стану хаотичного руху можна прийти різними шляхами. Отже, поняття сценарію переходу до хаосу має до певної міри умовний характер. Тим не менше воно досить поширене в літературі.

 На сьогоднішній день, як можна думати, відомі ще не всі можливі сценарії переходу до хаосу. Нижче ми зупинимося на трьох найбільш вивчених і поширених.

16. У чому полягає ідея методів реконструкції атракторів?

Сценарій виникнення неперіодичного руху, хаотичного атрактора в результаті біфуркацій подвійного періоду спочатку було досліджено для логістичного відображення. Пізніше було здобуто строгі результати, що дозволяють виявляти класи одновимірних відображень, для яких перехід до хаосу характеризується сценарієм Фейгенбаума.